Mithilfe der l'hospitalschen
Regeln lassen sich Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken der Form
berechnen.
Die Regeln sind nach dem französischen Mathematiker GUILLAUME FRANÇOISE
ANTOINE DE L'HOSPITAL (1661 bis 1704, Bild 1) benannt.
Die im Folgenden betrachtete
erste Regel stammt eigentlich vom Schweizer JOHANN BERNOULLI (1667 bis 1748);
deswegen findet man dafür mitunter auch die Bezeichnung Regel
von BERNOULLI-L'HOSPITAL.
Ausgangspunkt unserer Betrachtungen ist ein physikalisches Problem:
- In einem einfachen Gleichstromkreis mit der Spannung U befindet sich
eine Spule mit dem ohmschen Widerstand R und der Induktivität (Selbstinduktion)
L. Für die Stromstärke I als Funktion der Zeit t gilt dann:
Welche Beziehung gilt für die Stromstärke, wenn der ohmsche Widerstand R der Spule des Gleichstromkreises gleich null wäre (ideale Spule)?
Die Beantwortung dieser Frage führt zur Bildung des folgenden einseitigen
Grenzwertes:
Fasst man nun den Zähler als Funktion u mit 
und den Nenner als Funktion v mit 
auf, dann läge es nahe, den Grenzwertsatz
für den Quotienten zweier Funktionen anzuwenden, doch dessen
Voraussetzung ist wegen 
nicht erfüllt. Wendet man ihn dennoch formal an, so führt das
auf den unbestimmten Ausdruck 
.
Mathematisch stößt man hier auf bestimmte Grenzen, physikalisch
ist das Problem aber lösbar: Beim Schließen des Gleichstromkreises
bewirkt die Selbstinduktion ein verzögertes Ansteigen des Stroms.
Der Widerstand R des Stromkreises führt dazu, dass sich nach kurzer
Zeit der nach dem ohmschen Gesetz geltende konstante Wert 
einstellt.
Die punktuelle Änderungsrate (Anstieg, Steigung) der Stromstärke
ist durch die 1. Ableitung 
bestimmt. Für den Einschaltmoment nimmt sie den von R unabhängigen
Wert 
an. Wäre also der Widerstand R gleich null, so würde dieser
Anstieg unverändert andauern, also für die Stromstärke
würde
gelten 
.
Als (rein) mathematisches Beispiel betrachten wir das folgende:
- Es soll das Konvergenzverhalten der Funktion f mit
an der Stelle 
untersucht werden.
Sowohl die Zählerfunktion 
als auch die Nennerfunktion 
streben für 
gegen null. Wir erhalten also wiederum einen unbestimmten Ausdruck der
Form .
Zerlegt man nun f in ein Produkt aus den beiden Faktoren x und 
,
dann kann man mit dem Grenzwertsatz für das Produkt zweier Funktionen
schlussfolgern:
Mithilfe des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung
ist es möglich, dieses Ergebnis unter anderen Gesichtspunkten zu
begründen und entsprechend zu verallgemeinern. Dazu betrachten wir
die Graphen von u und v (Bild 2).
Eine Parallele zur y-Achse im Abstand 
schneidet die Graphen von u und v in den Punkten 
.
Verbindet man nun diese beiden Punkte mit dem Koordinatenursprung O, so
sind die Geraden OP und OQ Sekanten der Graphen von u und v. Da beide
Funktionen im Intervall 
differenzierbar sind, gibt es nach dem Mittelwertsatz im offenen Intervall
mindestens
zwei Stellen a und b, sodass gilt:
Somit ist 
,
und für den Grenzwert erhalten wir:
Strebt nun x gegen null, so streben offensichtlich sowohl a als auch b
ebenfalls gegen null. Da 
ist, ergibt sich 
.
Demzufolge ist:
Für 
sind die Überlegungen analog, so dass in der Tat gilt:
Dieses Ergebnis lässt sich zur (ersten) Regel von L'HOSPITAL verallgemeinern:
- Es seien die Funktionen
in einer Umgebung von 
differenzierbar und ihre Ableitungsfunktionen in
stetig.
Ist nun
sowie 
in einer Umgebung von ,
so gilt:
Anmerkungen: Die Regel von L'HOSPITAL
kann (wenn jeweils die Voraussetzungen erfüllt sind) auch mehrfach
hintereinander angewendet werden.
Zu beachten ist ferner, dass man Zähler- und Nennerfunktionen getrennt
ableitet und nicht nach der Quotientenregel verfährt.
- Beispiel 1:
Es ist:
- Beispiel 2:
Für 
gehen sowohl die Zählerfunktion 
als auch die Nennerfunktion 
gegen null, aber es ist nicht absehbar, was mit dem Quotienten passiert,
deshalb überprüfen wir den Grenzwert des Quotienten der Ableitungen:
Also ist 
.
- Beispiel 3:
Für
streben sowohl die Zähler- als auch die Nennerfunktion gegen null.
Der Quotient der Ableitungen ist:
Da wiederum Zähler- und Nennerfunktion für
gegen null streben, wird ein weiteres Mal abgeleitet:
Jetzt ist 
und demzufolge gilt:
.
Anmerkung: Die Regel von L'HOSPITAL lässt
sich nicht anwenden, wenn die Zähler- oder die Nennerfunktion einen
endlichen von null verschiedenen Grenzwert hat. Zum Beispiel ist 
.
Eine formale (nicht die Voraussetzungen prüfende) Anwendung der Regel
von L'HOSPITAL führt zu dem falschen Ergebnis 
.
Greifen wir nochmals das Eingangsbeispiel auf. Mithilfe der Regel von L'HOSPITAL erhält man:
Im Unterschied zu den physikalischen Überlegungen erweckt das mathematische
Resultat eine unbegrenzte Zunahme der Stromstärke mit der Zeit. Praktisch
stellt sich jedoch ziemlich schnell der konstante Wert 
ein (s. obiges Textbild).