Stetigkeit, Sätze

Funktionen, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig sind, nennt man stetige Funktionen oder auch global stetig.
Für global stetige Funktionen lassen sich mehrere "angenehme" Eigenschaften formulieren und beweisen, so u.a. die folgenden Sätze:

• Nullstellensatz von BOLZANO;
• Zwischenwertsatz;
• Satz vom Minimum und Maximum (Satz von WEIERSTRASS);
• Stetigkeit der Umkehrfunktion

Im Folgenden sollen die ersten beiden Eigenschaften (Sätze) bewiesen werden.

Der Nullstellensatz von BOLZANO
Der nach dem böhmischen Philosophen und Logiker BERNARD BOLZANO (1781 bis 1848, Bild 1) benannte Nullstellensatz besagt das Folgende:

• Ist f eine im abgeschlossenen Intervall stetige Funktion und gilt , so gibt es wenigstens eine Stelle mit .

Der Beweis erfolgt durch Aufbau einer Intervallschachtelung mittels fortgesetzten Halbierens (sog. weierstraßsches Halbierungsverfahren).
Es sei f im abgeschlossenen Intervall stetig und o.B.d.A. gelte (s. unten stehendes Bild).
Für die Mitte des ersten Intervalls gilt dann und es ist entweder oder .
Als zweites Intervall betrachtet man jetzt dasjenige der beiden Teilintervalle, bei dem f Randwerte mit verschiedenen Vorzeichen hat. Ist , so wählt man als neues Intervall mit . Ist , so wählt man dagegen mit .
Verfährt man mit dem zweiten Intervall wie mit dem ersten, so kommt man entweder zu einer Nullstelle von f oder man erhält eine Folge von Intervallen (Intervallschachtelung) mit , die folgende Eigenschaften hat:

• Die Folge der linken Intervallenden ist monoton steigend.
• Die Folge der rechten Intervallenden ist monoton
  fallend.
• Die Folge ist eine Nullfolge.

Aus diesen Eigenschaften lässt sich weiter folgern: , d.h., die Folgen und sind monoton und beschränkt und demzufolge konvergent.
Wegen besitzen beide Folgen den gleichen Grenzwert , weil (wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von f) ist. Da aber für alle ist, gilt .

Der Satz über die Annahme der Zwischenwerte
Der Zwischenwertsatz besagt Folgendes:

• Wenn f eine über dem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion mit ist, dann nimmt f jeden Wert c, der zwischen den Funktionswerten liegt, mindestens einmal an.

Dieser Satz ließe sich ebenfalls mithilfe einer Intervallschachtelung beweisen. Einfacher ist es jedoch, ihn als Verallgemeinerung des Nullstellensatzes zu gewinnen.



Es ist bekannt, dass f ist stetig ist. O.B.d.A. sei . Man wählt irgendeinen beliebigen Wert c zwischen und betrachtet die Funktion , die durch Verschiebung um Einheiten in Richtung der negativen Ordinatenachse erzeugt wird (s. obiges Bild). Da f stetig ist, ist auch die so gebildete Funktion g stetig und es gilt:

Damit erfüllt g alle Voraussetzungen des Nullstellensatzes. Also gibt es in eine Stelle mit , d.h. aber:

Ohne Beweis sollen die beiden anderen oben genannten Sätze über stetige Funktionen noch mitgeteilt werden:

• Wenn f eine über dem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion ist, dann hat f in ein Maximum und ein Minimum (Satz von WEIERSTRASS).

• Ist f eine über stetige und umkehrbare Funktion, dann ist auch die Umkehrfunktion über stetig (Stetigkeit der Umkehrfunktion).