Greift an einem starren und um eine Achse drehbaren Körper
eine Kraft Dabei ist a der Abstand der Wirkungslinie der Kraft von der Drehachse,
auch "Hebelarm" genannt, und F der Betrag der Kraft |
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an, so wirkt ein 
Denkt man sich nun eine Fläche, die gleichmäßig mit Masse belegt ist, in kleine Massenelemente aufgeteilt, so greift an jedem Massenelement m die Gewichtskraft an. Dadurch entsteht ein Drehmoment bezüglich einer beliebigen Drehachse.
Bezeichnet man die auf die Fläche bezogene Massedichte mit 
die Erdbeschleunigung mit g und die Größe
des einzelnen Flächenelements mit 
so gilt für das Massenelement 
und für
die auf dieses Massenelement wirkende Gewichtskraft 
.
Für den auf das Massenelement
entfallenden Anteil 
des Gesamtdrehmoments folgt dann 
Nun gibt es zu einer Fläche (einem Körper) genau einen Punkt
S, der durch folgende Eigenschaft gekennzeichnet ist:
Legt man durch S
eine beliebige Achse, so hat die Summe der Drehmomente aller Massenelemente
der Fläche (des Körpers) bezüglich dieser Achse die Maßzahl
0.
Dieser Punkt wird als "Schwerpunkt"
bezeichnet. Seine Lage (seine Koordinaten) zu kennen, ist wichtig für
das Lösen vieler physikalischer und technischer Probleme.
Die zu untersuchende Fläche habe beispielsweise die Gestalt wie
in Bild 1.
Der Inhalt dieser Fläche hat dann die Maßzahl
Zur Ermittlung
der Koordinaten 
des Schwerpunktes wird durch S eine zur y-Achse parallele Achse gelegt.
Dann besitzen alle Massenelemente, die auf einem schmalen, zur y-Achse
parallelen Streifen der Breite 
liegen, nahezu das gleiche Drehmoment bezüglich der gewählten
Schwerelinie. Der Streifen hat die Flächenmaßzahl 
Für das Drehmoment des Streifens gilt:
Um das Gesamtdrehmoment zu ermitteln, ist nun die Summe der Drehmomente
aller Streifen der Fläche zu bilden und der Grenzwert dieser Summe
für 
zu berechnen.
Es ergibt sich so das folgende Integral:
Da die Achse durch den Schwerpunkt gehen soll, ist dieses Integral gleich
null.
Wegen 
gilt
woraus folgt:
Durch analoge Überlegungen ergibt sich:
| Beispiel Es ist der Schwerpunkt nebenstehender Dreiecksfläche zu ermitteln (s. auch interaktives Rechenbeispiel): |
 |
Somit ist 
und 
.