Das Berechnen von
Nullstellen gegebener Funktionen, d.h. das Lösen der entsprechenden
Gleichungen, kann zu einem Problem werden, wenn die zu betrachtenden Funktionen
(Gleichungen) komplizierter werden. Man denke etwa an Funktionen (Gleichungen)
wie die folgenden
Für ganzrationale Funktionen 1. und 2. Grades gibt es allgemeingültige
(und wohl auch allgemein bekannte) Formeln zum Ermitteln
der Nullstellen:
Für ganzrationale Gleichungen höheren Grades (vom Grade n mit
) gibt
es kein allgemeingültiges Lösungsverfahren. Dies hat im Jahre
1826 der norwegische Mathematiker NILS HENRIK ABEL (1802 bis 1829; Bild
2) bewiesen. Für transzendente Funktionen (z.B. trigonometrische
Funktionen oder Exponential- und Wurzelfunktionen) gibt es ebenfalls keine
allgemeingültigen Verfahren zur Nullstellenbestimmung, d.h. zum
Lösen der entsprechenden Gleichungen.
In den Fällen, wo das exakte Ermitteln der Nullstellen nicht möglich
oder sehr umständlich ist, kann man diese aber mithilfe geeigneter
Verfahren näherungsweise ermitteln. Ein solches Verfahren ist das
newtonsche Näherungsverfahren
(auch Tangentennäherungsverfahren
genannt). Seine Anwendung ist an bestimmte Voraussetzungen gebunden und
setzt Kenntnisse der Differenzialrechnung voraus.
Mit schwächeren Voraussetzungen und ohne Kenntnisse
der Infintesimalrechnung kommt das Sekantennäherungsverfahren,
die regula falsi (Regel des
falschen Wertes) aus. Dieses Verfahren soll im Folgenden dargestellt und
an Beispielen erläutert werden.
Beim Sekantennäherungsverfahren wird das Bild der Funktion 
zwischen zwei Punkten 
ersetzt durch eine Gerade, die durch diese Punkte geht.
Setzt man voraus, dass die Funktion
im Intervall 
stetig ist und wählt man die Punkte 
so, dass einer oberhalb und der andere unterhalb der x-Achse liegt, also
gilt,
so muss im Intervall
(mindestens) eine Nullstelle liegen (Bild 1).
Damit schneidet auch die
Sekante s die x-Achse. Die Abszisse dieses Schnittpunktes (also einen
"falschen" Wert) berechnet man anstelle des richtigen Wertes
für
die Nullstelle von .
Die Gleichung der Sekante s erhält man nach der Zweipunktegleichung:
Für 
erhält man den Wert 
:
Man ermittelt nunmehr 
und damit den Punkt 
.
Mit diesem und einen der beiden Ausgangspunkte, nämlich demjenigen,
durch den die Bedingung 
erfüllt ist, wiederholt man das Verfahren und erhält 
.
Diesen Prozess setzt man fort und erhält so eine iterative Näherung
für die Nullstelle .
Diese Näherung wird umso besser und schneller, je dichter die Ausgangswerte
an der
Nullstelle
liegen.
- Beispiel 1:
Man wählt 
.
Dann erhält man (wie aus der nachfolgenden Tabelle, in die auch die
weiteren Werte 
eingetragen wurden, ersichtlich) 
.
- Beispiel 2:
Man wählt 
.
Dann erhält man (s. auch nachfolgende Tabelle) 
.
In den nächsten Schritten würde man 
erhalten.
- Beispiel 3:
Man wählt .
Dann erhält man (s. auch nachfolgende Tabelle) 
.
In den nächsten Schritten würde man 
sowie 
erhalten.
Die Beispiele zeigen, dass die Annäherung an die Nullstelle unterschiedlich
gut (schnell) verlaufen kann. Hier sind die Art der Funktion und die gewählten
Ausgangswerte von entscheidender Bedeutung. Man sollte das Intervall
so klein wie möglich wählen.
Problematisch kann es werden, wenn in diesem Intervall mehrere Nullstellen
(es muss immer eine ungerade Anzahl sein) liegen.
Bevor hochleistungsfähige Rechentechnik zur Verfügung stand, waren aber die Näherungsverfahren – und hier wegen der im Prinzip einfachen Handhabung besonders die regula falsi – oft genutzte Hilfsmittel (Rechenbeispiel).