z. B. vom Fußboden auf einen Tisch (s. nebenstehendes Bild), so wird
mechanische Arbeit verrichtet. Diese Arbeit berechnet sich nach der bekannten
Formel 
, wobei
der Betrag
der vektoriellen Größe Kraft ist, die in Richtung des Weges 
wirkt, und 
die
Länge dieses Weges angibt. Im vorliegenden Fall haben 
und dieselbe
Richtung. Im Gegensatz zu den vektoriellen Größen Kraft und Weg lässt sich der mechanischen Arbeit keine Richtung zuordnen – es handelt sich hier um eine skalare Größe.
Wird nun ein Eisenbahnwagen auf Schienen von einem Traktor gezogen, der
nicht auf diesen Schienen fährt, so wirkt auf den Wagen eine Kraft
in Richtung
des Seiles, also im Unterschied zu obigem Beispiel nicht in Wegrichtung
(s. nebenstehendes Bild). Dennoch kann man auch hier die mechanische Arbeit
nach der Formel
berechnen, wenn man unter 
die Größe der Kraftkomponente versteht, die in Richtung des
Weges wirkt. Ist 
der Winkel zwischen den Kräften
und , so gilt
nach trigonometrischen Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck ABC für
die Größen dieser Kräfte 
.
Für die mechanische
Arbeit erhalten wir also insgesamt 
.
(Diese Formel gilt auch für das obige Beispiel, da dort
= 0° und damit cos
= 1 ist.)
Auf der linken Seite der obigen Gleichung steht mit W eine skalare, also
nichtgerichtete Größe und auf der rechten Seite das Produkt
aus den Beträgen zweier gerichteter Größen und dem Kosinus
des eingeschlossenen Winkels. Ausgehend davon definieren wir nun ein Produkt
zweier Vektoren. Weil das Resultat dieses Produktes ein Skalar,
also eine reelle Zahl ist, heißt dieses Produkt Skalarprodukt.
Definition:
Sind 
zwei
Vektoren, so nennt man 
das Skalarprodukt der Vektoren ,
wobei den
von eingeschlossenen
Winkel bezeichnet.
Das Skalarprodukt ist eine Rechenoperation in der Menge der Vektoren,
die zwei Vektoren eine reelle Zahl zuordnet und damit aus dem Bereich
der Vektoren herausführt.
Speziell gilt 
,
wenn 
. Das
Skalarprodukt zweier Vektoren kann aber auch den Wert 0 annehmen, wenn
beide Vektoren vom Nullvektor
verschieden sind – nämlich dann, wenn die beiden Vektoren
den Winkel 90° einschließen.
Einen Überblick über das Skalarprodukt bei allen Lagemöglichkeiten von
gibt folgende
Tabelle:
