Aus einer quadratischen Öffnung mit einer Kantenlänge
von 20 cm (Bild 1) ströme Wasser mit einer Geschwindigkeit von 3
senkrecht
aus. Es ist nach der Wassermenge gefragt, die pro Sekunde aus dieser Öffnung
austritt. Dabei wird die Fließgeschwindigkeit des Wassers als eine
vektorielle Größe aufgefasst, die durch den Vektor 
gekennzeichnet wird.
Um diese Wassermenge zu bestimmen, kann man sich vorstellen,
dass das ausströmende Wasser in einer Sekunde einen Quader mit quadratischer
Grundfläche (Kantenlänge 20 cm) und einer Höhe von 3 m
füllt (Bild 2).
Das Volumen dieses Quaders beträgt demzufolge
0,2 m · 0,2 m · 3 m = 
.
Folglich strömt aus der Öffnung 
Wasser, was 
entspricht.
Nun tritt das Wasser aus einer Öffnung aus, die nicht mehr quadratisch ist, aber der Form eines Parallelogramms entspricht. Darüber hinaus nehmen wir an, dass das Wasser nicht mehr senkrecht aus dieser Öffnung ausströmt (Bild 3).
Die ausgetretene Wassermenge füllt damit in der betrachteten Zeiteinheit einen Körper, der durch sechs Parallelogramme begrenzt wird (Bild 4). Es handelt sich dabei um ein Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche. Ein solcher Körper heißt auch Parallelepiped oder Spat.
In der Natur kommt diese Körperform z.B. in der
kristallinen Form des Flussspates vor (Bild 5).
Dieser Körper ist eindeutig durch drei linear unabhängige Vektoren
bestimmt
(Bild 6).
Das Volumen 
eines solchen Parallelepipeds lässt sich mit 
berechnen. Dabei bedeutet 
die Größe der Grundfläche, also des Parallelogramms, welches
durch 
aufgespannt wird, und es gilt entsprechend der geometrischen Interpretation
des Vektorprodukts:
Es sei 
die
Länge der Höhe von C über der betrachteten Grundfläche.
Bezeichnet 
den Winkel zwischen den beiden Vektoren 
,
so gilt 
.
Damit erhält man aber insgesamt 
bzw. 
(entsprechend der Definition des Skalarprodukts).
Weil 
sowohl positiv 
als auch negativ 
sein kann, ist das hier berechnete Volumen eine vorzeichenbehaftete Größe.
Es ist positiv, wenn die drei Vektoren
ein Rechtssystem bilden und
negativ im anderen Fall.
In Analogie zum Skalar- bzw. Vektorprodukt nutzen wir die an obigem Beispiel
betrachteten Beziehungen zur Einführung eines neuen Produktes für
drei Vektoren:
Definition:
Sind Vektoren, so bezeichnet 
das Spatprodukt dieser drei
Vektoren.
Das Produkt
gibt das (vorzeichenbehaftete) Volumen des Spats (Parallelepipeds) an,
das durch die drei Vektoren
bestimmt ist (Bild 6).
Es ist damit auch klar, dass 
gilt, wenn einer der drei Vektoren der Nullvektor ist.
Sind alle drei
Vektoren
vom Nullvektor verschieden, dann ist
genau dann, wenn 
linear abhängig (also komplanar) sind. Diese Beziehung lässt sich benutzen, um festzustellen,
ob vier Punkte in einer Ebene liegen. Es gilt der folgende Satz:
Komplanaritätskriterium
für vier Punkte einer Ebene
Sind A, B, C und D vier voneinander verschiedene Punkte im Raum, so liegen
diese vier Punkte genau dann in einer gemeinsamen Ebene, wenn 
gilt.
Aus der geometrischen Interpretation des Spatprodukts (siehe z.B. Bild
6) ist erkennbar, dass 
gilt. Aus diesem Grunde kann man das Spatprodukt der drei Vektoren auch in der Form 
schreiben.
Das Spatprodukt besitzt außerdem folgenden Eigenschaften:
Nun soll das Spatprodukt berechnet werden, wenn die drei Vektoren durch
ihre Koordinaten gegeben sind.
Mit 
= 
, 
= 
und
= 
erhält man
Diese Summe lässt sich als die folgende, nach der letzten Spalte
entwickelte Determinante auffassen:
Zusammenfassend lässt sich feststellen und als Satz formulieren:
Spatprodukt von
drei Vektoren
Sind die drei Vektoren
=, =
und =
gegeben, so lässt sich deren Spatprodukt durch 
berechnen.