Stammfunktionen

Eine Grundaufgabe der Differenzialrechnung besteht im Ermitteln der Abletiungsfunktion f' zu einer gegebenen Funktion f.
Wird diese Aufgabenstellung umgekehrt, d.h., sucht man zu einer gegebenen Funktion f eine Funktion F, deren Ableitungsfunktion F' gleich der Funktion f ist, so kommt man zur Grundaufgabe der Integralrechnung und zum Begriff der Stammfunktion.

Definition:
Eine Funktion F heißt Stammfunktion einer Funktion f, wenn die Funktionen f und F einen gemeinsamen Definitionsbereich besitzen und für alle gilt:

Für die weiteren Überlegungen ist die folgende Aussage bedeutsam:
f ist eine konstante Funktion genau dann, wenn für jedes x gilt:

Beweis:
Die Aussage besteht aus zwei Teilaussagen:
a) Wenn f eine konstante Funktion ist, so gilt für jedes x.
b) Wenn für jedes x gilt, so ist f eine konstante Funktion.
Die Gültigkeit von a) ergibt sich unmittelbar aus der Konstantenregel der Differenzialrechnung. Es muss deshalb nur noch Teilaussage b) bewiesen werden:
Voraussetzung: Für jedes x gelte .
Behauptung: f ist eine konstante Funktion.
Es wird gezeigt, dass unter der angegebenen Voraussetzung die Funktionswerte von f an beliebigen Stellen a und b übereinstimmen, d.h., dass stets gilt, wie man a und b auch wählt.
Wir wenden für den Nachweis den Mittelwertsatz der Differenzialrechnung an. Ist f eine im Intervall differenzierbare Funktion, dann existiert mindestens eine Stelle c zwischen a und b, so dass gilt.
Durch Multiplikation mit (b - a) erhält man hieraus . Da nach Voraussetzung f ' an jeder Stelle den Wert Null hat, ist auch . Damit gilt , woraus folgt. Da aber a und b beliebig gewählt wurden, stimmen die Funktionswerte an allen Stellen überein, d.h., f ist eine konstante Funktion.
w.z.b.w.

Wenn es zu einer Funktion f eine Stammfunktion F gibt, so existieren unendlich viele weitere Stammfunktionen, die sich nur um eine additive Konstante unterscheiden.

Stammfunktionen einer Funktion
Es sei eine Stammfunktion von f in D. ist genau dann eine Stammfunktion von f, wenn es eine Zahl C gibt, so dass für alle gilt.

Beweis:
Weil es sich bei dem vorliegenden Satz um eine Äquivalenzaussage handelt, müssen wir den Beweis "in beiden Richtungen" führen.
a) Es sei (für alle ) . Dann ist differenzierbar und es gilt . Da nach Voraussetzung , folgt , d.h., ist ebenfalls eine Stammfunktion von f.
b) Es sei Stammfunktion von f. Dann gilt . Da nach Voraussetzung auch ist, folgt bzw. . Das heißt, die Differenzenfunktion hat die Ableitung 0 und muss daher eine konstante Funktion sein:
bzw.
w. z. b. w.

Für die Menge aller Stammfunktionen einer gegebenen Funktion f wird ein neuer Begriff eingeführt.

Definition:
Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f heißt unbestimmtes Integral von f.
Man schreibt:

Will man die Mengenschreibweise vermeiden, kann man auch nur mit einem Repräsentanten arbeiten:
Dabei bezeichnet man
f(x) als Integrandenfunktion – kurz: Integrand,
x als Integrationsvariable,
C als Integrationskonstante,
dx als Differenzial
des unbestimmten Integrals (gelesen: Integral über f von x dx).

Beim Ermitteln unbestimmter Integrale darf die Integrationskonstanten nicht einfach weggelassen werden, da dies zu Trugschlüssen führen kann.

Beispiel:

Schreibt man

so ergäbe sich die falsche Aussage .