Eine Normalverteilung
wird vollständig
bestimmt durch ihren Erwartungswert 
und ihre Streuung 
.
Es liegt deshalb die Frage nahe, ob man eine beliebige Normalverteilung
in eine spezielle Normalverteilung transformieren kann - und zwar in
eine mit solchen Parametern, die den Termen ihrer Dichte- und Verteilungsfunktion
eine möglichst einfache Gestalt geben. Für eine 
Zufallsgröße wäre dies der Fall.
Ist X eine normalverteilte Zufallsgröße mit den Parametern
und
, dann
ist die standardisierte Zufallsgröße 
ebenfalls normalverteilt, und zwar 
.
Man nennt diese Zufallsgröße dann standardnormalverteilt
und spricht von der Standardnormalverteilung.
Die Dichtefunktion der
Standardnormalverteilung bezeichnet man mit 
.
Es gilt:
Der in Bild 1 wiedergegebene Graph dieser Dichtefunktion, die sogenannte
gaußsche Glockenkurve, ist axialsymmetrisch
zur y-Achse, weil 
für alle 
gilt.
Für 
hat der Graph ein Maximum mit dem Wert 
.
Die beiden Wendepunkte liegen bei 
und 
.
Die Verteilungsfunktion
der Standardnormalverteilung wird mit 
bezeichnet und häufig auch gaußsche
Summenfunktion genannt. Es gilt:
Der Graph dieser Verteilungsfunktion (s. Bild 2 und interaktives Beispiel)
ist punktsymmetrisch zum Symmetriezentrum (0; 0,5) ,
weil 
für alle 
gilt.
Es sei Y standardnormalverteilt. Dann kann man die Wahrscheinlichkeit
sowohl
als Inhalt der Fläche unterhalb des Graphen der Dichtefunktion
über dem Intervall 
als auch als Wert der Verteilungsfunktion
an der Stelle x = a
interpretieren.
Es gelten folgende Rechenregeln
für die Wahrscheinlichkeiten 
:
Es sei nun 
und 
,
d.h., es ist 
.
Für eine solche 
Zufallsgröße X lauten diese Rechenregeln (unter Beachtung der
Transformationsgleichung )
dann wie folgt:
Mit der Rückführung einer beliebigen Normalverteilung auf die
Standardnormalverteilung reduziert sich der Aufwand zur Berechnung der
entsprechenden Wahrscheinlichkeiten erheblich. Trotzdem bleibt die Schwierigkeit
bestehen, dass die Dichtefunktion
keine elementare Stammfunktion besitzt. Man hat deshalb die Verteilungsfunktion
der
Standardnormalverteilung (und auch die Dichtefunktion )
tabelliert, und zwar nur für nichtnegative Argumente, da die Funktionswerte
für negative Argumente durch die Gleichung 
gewonnen werden können. Dabei wurden die Funktionswerte von
mithilfe folgender Reihendarstellung von
bestimmt:
| Auf dem (Taschen-)Computer kann man dieses
Verfahren nachvollziehen, indem die n-te Partialsumme dieser Reihe
als Funktionsterm in Abhängigkeit von x und n definiert wird
(s. nebenstehendes Bild). |
 |
Moderne Mathematiksoftware verfügt über spezielle Programme
zur Integralberechnung, sodass es möglich ist, die Werte von 
direkt zu bestimmen. Dabei wird aber mitunter eine erhebliche Rechenzeit
benötigt, die vor allem aus der unteren Integrationsgrenze 
resultiert.
Die Rechenzeit kann erheblich
verkürzt werden, wenn man als untere Integrationsgrenze eine
endliche Zahl wählt (etwa –5,
s. nebenstehendes Bild). Das führt im Allgemeinen zu keinem Genauigkeitsverlust,
denn es gilt z.B.: |
 |
Der Anwender benötigt also bei der Arbeit mit der Normalverteilung
keine Integralrechnung, sondern nur ein Tafelwerk der Stochastik oder
einen entsprechenden Computer.