Der Begriff Stetigkeit gehört zu den zentralen Ideen der Differenzial- und Integralrechnung. Wenn man in der Umgangssprache einen bestimmten Vorgang als "stetig" bezeichnet, so meint man damit, dass er ohne Unterbrechung und ohne sprunghafte Veränderungen abläuft. Eine ganz ähnliche Bedeutung hat der Begriff in der Mathematik.
Mithilfe des Grenzwertbegriffs wird Stetigkeit folgendermaßen definiert:
- Die Funktion f heißt an der Stelle
stetig, wenn der Grenzwert von f an der Stelle 
existiert und mit dem Funktionswert an der Stelle
übereinstimmt, d.h., wenn gilt:
(interaktives
Beispiel)
(Kurz und vereinfacht merkt man sich: "Funktionswert gleich Grenzwert!")
Wenn
zum Definitionsbereich gehört, die Funktion f aber an der Stelle
nicht
stetig sein sollte, so kann das nur an einer der beiden folgenden Ursachen
liegen:
Entweder hat die Funktion 
keinen Grenzwert für 
(dann liegt bei
eine echte Unstetigkeit
vor) oder sie hat einen Grenzwert, der aber von 
verschieden ist (in diesem Fall spricht man von einer hebbaren
Unstetigkeit). In folgendem Bild sind diese beiden Fällen
dargestellt.
Die links dargestellte Funktion ist an der Stelle
echt unstetig, da sie dort keinen Grenzwert besitzt.
Die rechts dargestellte Funktion hat an der Stelle
einen Grenzwert, ist an dieser Stelle allerdings unstetig, da Grenzwert
und Funktionswert dort nicht übereinstimmen. Die Unstetigkeit ist
jedoch hebbar, d.h., sie kann durch Umdefinieren von f an der Stelle
aufgehoben (behoben) werden, indem man den Punkt im rechten Bild "an
die richtige Stelle absenkt".
Den Begriff Stetigkeit kann man auch ohne Bezug zum Grenzwertbegriff definieren, indem man auf den Umgebungsbegriff zurückgeht. Man definiert dann folgendermaßen:
- Eine Funktion f heißt stetig an der Stelle ,
wenn es zu jedem
eine Zahl 
gibt, sodass für alle x aus einer Umgebung 
gilt:
(Mit anderen Worten:
liegt in einer beliebig vorgegebenen 
-Umgebung
von ,
wenn x nur nahe genug bei
liegt.)
Das folgende Bild (s. auch Bild 1) veranschaulicht die Bedingungen dieser
Definition.
Anmerkung: Beide hier angeführten Definitionen der Stetigkeit
sind zueinander gleichwertig.
Wir betrachten im Folgenden zwei Beispiele.
- Beispiel 1: Die Funktion f mit
ist auf Stetigkeit an der Stelle
zu untersuchen.
Für den Grenzwert an dieser Stelle ergibt sich:
Grenzwert und Funktionswert stimmen überein, damit ist f an der Stelle
stetig.
- Beispiel 2: Gegeben sei die Funktion
f mit
.
Ist f an den Stellen
stetig?
Für den Grenzwert 
erhält man:
Rechts- und linksseitiger Grenzwert stimmen nicht über, folglich
existiert kein Grenzwert der Funktion für 
und die Funktion ist an der Stelle 
unstetig.
Da die Funktion f an der Stelle 
nicht definiert ist, erübrigt sich eine Untersuchung auf Stetigkeit.
Sie ist dort weder stetig noch unstetig.
