Summenregel

Die Summenregel der Differenzialrechnung besagt das Folgende:<

• Sind zwei Funktionen u und v in differenzierbar, so ist an dieser Stelle auch die Summenfunktion s mit differenzierbar. Es gilt:
  
  

Da diese Aussage für ein beliebiges aus dem Bereich gilt, in dem sowohl u als auch v differenzierbar sind, kann man vereinfacht schreiben:

Kurz: Eine Summenfunktion kann summandenweise differenziert werden.

Beweis der Summenregel
Es seien u und v zwei in differenzierbare Funktionen und es sei s die Summe der Funktionen u und v mit für alle .
Wir berechnen den Differenzenquotienten von s an der Stelle :


Mithilfe der Sätze über den Grenzwert der Summe zweier Funktionen ergibt sich

und damit

• Beispiel: Es ist die Ableitung der Funktion zu bilden.

Die Funktion hat die Darstellung und damit folgende Ableitung:

Die obige Summenregel gilt auch für n Summanden mit , also für Funktionen der Form
Zum Beweis dieser Verallgemeinerung verwenden wir das Beweisverfahren der vollständigen Induktion:

• Induktionsanfang
  Die Regel ist gültig für , wie oben gezeigt wurde.
• Induktionsschluss
  I. Induktionsvoraussetzung:
  
  II. Induktionsbehauptung:
  
  III. Induktionsbeweis
  

Also ist differenzierbar in und es gilt:

Aus Potenz- und Summenregel ergibt sich eine wichtige Schlussfolgerung für die Ableitung ganzrationaler Funktionen:

• Jede ganzrationale Funktion ist an jeder Stelle differenzierbar und besitzt die Ableitungsfunktion .
  Die Ableitungsfunktion ist also wieder eine ganzrationale Funktion mit einem gegenüber f um 1 niedrigeren Grad.