Das Zeichnen der Graphen von Funktionen lässt sich durch das Vorhandensein von Symmetrie(n) stark vereinfachen. Insbesondere treten bei den Graphen zwei Grundsymmetrien auf:
- Achsensymmetrie (Axialsymmetrie)
- Punktsymmetrie (Zentralsymmetrie)
Mit Blick auf einige spezielle Funktionen (vor allem periodische Funktionen),
z.B. die Tangensfunktion 
,
ist auch eine so genannte Verschiebungssymmetrie
(Axialverschiebung) von Interesse.
Achsen- und Punktsymmetrie
Die Bedingungen für axialsymmetrische
und zentralsymmetrische
Graphen sind in nachstehender Abbildung (bzw. in Bild 1) angegeben.
Die entsprechenden Funktionen werden gerade bzw. ungerade Funktionen genannt.
- Eine Funktion f mit dem Definitionsbereich
heißt gerade Funktion
genau dann, wenn mit 
auch 
ist und wenn gilt:
- Eine Funktion f mit dem Definitionsbereich
heißt ungerade Funktion
genau dann, wenn mit
auch
ist und wenn gilt:
(Rechenbeispiel
1)
Bei ganzrationalen Funktionen kann
man eine vorhandene Symmetrie relativ einfach erkennen. Treten im Funktionsterm
nur gerade Potenzen von x auf, ist also 
,
so gilt stets 
.
Treten andererseits nur ungerade Potenzen von x auf, ist also 
,
so gilt stets 
.
Für ganzrationale Funktionen f mit 
lässt sich somit allgemein formulieren:
- Die Funktion f ist genau dann gerade, wenn im Funktionsterm nur Potenzen
von x mit geraden Exponenten auftreten.
Anmerkung: Wegen
gilt auch 
als Summand mit geradem Exponenten von x. - Die Funktion f ist genau dann ungerade, wenn im Funktionsterm nur Potenzen von x mit ungeraden Exponenten auftreten.
- Beispiel 1: Die Funktionen
,
und
sind
auf Symmetrie zu untersuchen.
Der Graph von f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da alle Potenzen
von x gerade sind; der Graph von g ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung,
da alle Potenzen von x ungerade sind. Demzufolge ist f eine gerade und
g eine ungerade Funktion.
Die Funktion h ist weder gerade noch ungerade.
- Beispiel 2: Die Funktionen f mit
und
g mit 
sind auf Symmetrie zu untersuchen.
Nach den oben herangezogenen Kriterium sind f und g weder gerade noch
ungerade. Trotzdem weisen ihre Graphen (s. Bilder 2 und 3) eine Symmetrie
auf.
Der Graph von f ist achsensymmetrisch zur Geraden 
,
der Graph von g zentralsymmetrisch zum Punkt 
.
- Beispiel 3: Es ist zu untersuchen,
ob die Funktion f mit
gerade oder ungerade ist.
Man bildet 
und erhält:
.
Die Funktion f ist also ungerade.
- Beispiel 4: Es sind Symmetrie und
Monotonieverhalten der quadratischen Funktion
sind zu bestimmen.
Die Scheitelpunktsform lautet 
,
d.h., der Scheitelpunkt hat die Koordinaten 
.
Das bedeutet, der Graph der Funktion ist symmetrisch zur Geraden 
.
Durch den Scheitelpunkt S ist das Monotonieverhalten der nach oben geöffneten
Parabel bestimmt. Die Funktion f ist im Intervall 
streng monoton fallend und im Intervall 
streng monoton wachsend.