In der historischen
Entwicklung der Differenzialrechnung spielte das so genannte Tangentenproblem
eine große Rolle. Was hat es damit auf sich?
Der Begriff "Tangente"
ist aus der Kreislehre bekannt. Geometrisch wird als Tangente an einen Kreis
diejenige Gerade bezeichnet, die mit dem Kreis genau einen Punkt gemeinsam
hat. Diese Erklärung könnte auch noch auf die Ellipse sinngemäß
übertragen werden, aber wäre zum Beispiel schon nicht mehr für
die Parabel 
im Punkt (0; 0) ausreichend. Dort sind im oben genannten Sinn zwei Geraden
möglich (Bild 1), die x- und die y-Achse.
Noch komplizierter wird der Sachverhalt für irgendeinen beliebigen Funktionsgraphen. Existiert dort in einem vorgegebenen Punkt die Tangente an den Graphen? Wie kann man ihre Steigung bzw. ihre Gleichung ermitteln?
Zu einer Lösung des Tangentenproblems führt folgende Überlegung:
An den in Bild 2 dargestellten Graphen der Funktion f soll im Punkt 
die Tangente gelegt werden.
Bekannt ist: Eine Gerade wird durch zwei
Punkte oder durch einen Punkt und den Anstieg der Geraden bestimmt. Von
der Tangente ist aber bislang nur der Punkt
bekannt. Deshalb wählen wir einen beliebigen zweiten Punkt P auf
dem Graphen der Funktion. Damit ist die Sekante
festgelegt.
Bewegt sich der Punkt P auf dem Graphen gegen den festen Punkt ,
so führt die Sekante
eine Drehung um
aus. Je näher dabei P dem Punkt
kommt, desto mehr nähert sich die Sekante einer Grenzlage,
in der sie zur Tangente des
Graphen von f in
wird (s. interaktives Beispiel).
Den Anstieg
der Tangente in
bezeichnet man auch als Anstieg der Funktion
in . Diese
Erklärung der Tangente erfasst selbst Sonderfälle, wie sie bisher
nicht vorstellbar waren - zum Beispiel den Fall, dass die Tangente den
Graphen der Funktion durchsetzt (Bild 3).
Auf Grundlage dieser Erklärung des Tangentenbegriffs kann das Tangentenproblem
rechnerisch gefasst werden. Dazu betrachten wir eine auf dem Intervall
I definierte Funktion f und eine Stelle 
im Inneren des Intervalls. Ist x eine weitere beliebige Stelle in I mit
, d.h., 
,
so lässt sich die Gleichung der Sekante durch
und P (Bild 4) z.B. mittels der Koordinaten von
und dem Anstieg (der Steigung)
m der Geraden bestimmen. Dabei gilt für den Anstieg m der Sekante:
Führt man nun einen "Grenzübergang" durch, indem h
immer kleiner wird (man sagt auch: h durchläuft die Glieder einer
Nullfolge), so ist zu erkennen, dass sich auch der Anstieg der Sekante
ändert, dass m also eine Funktion von h ist, die in einer Umgebung
von 0 definiert ist.
Diese Differenzenquotientenfunktion
bezeichnen wir mit 
:
Falls 
bzw.
zur Funktion
f existiert, so bezeichnet man diesen Grenzwert als Ableitung
der Funktion f an der Stelle
und schreibt dafür 
.
Die Ableitung
gibt den Anstieg (die lokale Steigung) der Tangente an den Graphen der
Funktion im Punkt 
an. Man schreibt dafür:
bzw. 
Mit Hilfe des gewonnenen Ansteigsbegriffs kann man den bisher benutzten
geometrischen Begriff einer Tangente (nachdem eine Tangente eine Gerade
ist, die eine geometrische Figur in genau einem Punkte berührt) zu
einem analytischen Tangentenbegriff erweitern. Danach versteht man unter
der Tangente an einen Funktionsgraphen in einem Punkte
eine Gerade, die durch
verläuft und den Anstieg
hat.
Allerdings können in der analytischen Fassung des Tangentenbegriffes
jetzt auch Fälle auftreten, wo die Tangente den Funktionsgraphen
in mehreren Punkten berührt. Sie kann den Graphen sogar schneiden
oder aber auch gar nicht existieren. Im Unterschied zum geometrischen
Tangentenbegriff gibt es beim analytischen Tangentenbegriff keine senkrechten
Tangenten, da an solchen Stellen der Grenzwert der Differenzenquotientenfunktion
nicht als endlicher Grenzwert existiert. Die nachfolgenden Bilder zeigen
sechs typische Fälle.
