in derselben Weise gebildet werden, wie die Koeffizienten der TAYLOR-Entwicklung
einer ganzrationalen Funktion. Dies ergibt sich bereits daraus, dass im
Unterschied zu ganzrationalen Funktionen n-ten Grades die 
und alle weiteren Ableitungen einer nichtrationalen Funktion im Allgemeinen
nicht identisch gleich null sind. Das heißt: Die Entwicklung einer solchen
Funktion an einer Stelle
"bricht nicht ab", sondern würde zu einer Summe mit unendlich
vielen Summanden (Reihe) führen. Man spricht deshalb auch von der Entwicklung
einer Funktion in eine TAYLOR-Reihe
(Bild 1).TAYLOR-Entwicklung der Funktion f(x) = sin
x
Die Sinusfunktion
soll an der Stelle 
nach TAYLOR entwickelt werden (interaktives Rechenbeispiel).
Für die Funktion f und ihre Ableitungen gilt:
und damit allgemein (wie man durch vollständige Induktion zeigen
kann) für 
Im TAYLOR-Polynom der Sinusfunktion an der Stelle
treten also nur Potenzen von x mit ungeraden Exponenten auf.
Mithilfe der allgemeinen taylorschen Formel erhalten wir
mit 
Um beurteilen zu können, wie gut das in der obigen Gleichung aufgestellte
TAYLOR-Polynom die Funktion f(x) = sin x an der Stelle
approximiert, müssen wir das Restglied 
abschätzen:
Da 
konvergiert auch das Restglied
gegen null.
Erst jetzt können wir davon sprechen, dass sich die Sinusfunktion
in der Umgebung von 0 durch das TAYLOR-Polynom approximieren lässt
bzw. dass die Sinusfunktion in eine TAYLOR-Reihe entwickelt wurde:
In Bild 2 sind die Sinusfunktion und die ersten fünf Schmiegparabeln
dargestellt.
(Man beachte, dass die Sinusfunktion eine ungerade Funktion
ist.)
TAYLOR-Entwicklung der Funktion f(x)
= cos x
Die Entwicklung der Kosinusfunktion erhält man auf analogem Wege:
Für die Ableitungen von f(x) = cos x gilt:
Daraus folgt für die Entwicklung an der Stelle
Bei festem x ist 
Auch die Kosinusfunktion lässt sich also in eine TAYLOR-Reihe entwickeln.
Demzufolge kann man die Werte von cos x für beliebige x mit jeder
geforderten Genauigkeit berechnen.
Derartige Approximationen nichtrationaler Funktionen sind eine wichtige
Grundlage für entsprechende Rechenprozesse in Taschenrechnern und
Computern.