Wie aus der Differenzialrechnung bekannt ist, liefert
für eine differenzierbare Funktion f die Tangentenfunktion 
in einer hinreichend kleinen Umgebung der zugehörigen Berührungsstelle 
gute Näherungen der Funktionswerte von f. Die Tangentenfunktion
mit der Gleichung 
ist also in dieser Umgebung von eine lineare Näherungsfunktion der Funktion f. Für eine
hinreichend kleine Umgebung von gilt damit 
.
Man sagt, die Funktion wurde linearisiert.
Eine noch bessere Approximation erzielt man mithilfe ganzrationaler Funktionen
höheren Grades.
Bereits in der Tangentenfunktion tritt die 1. Ableitung als Koeffizient
auf. Dies gibt zu der Vermutung Anlass, dass möglicherweise ein Zusammenhang
zwischen den Koeffizienten des Näherungspolynoms und den Ableitungen
der gegebenen Funktion besteht.
Die entsprechenden Beziehungen bilden die taylorsche
Formel für ganzrationale Funktionen:
Ist eine ganzrationale Funktion y = f(x) in einer Umgebung von 
n-mal differenzierbar, so existiert das Polynom
Es wird das n-te taylorsche Polynom von y = f(x) genannt.
Man sagt auch:
Die Funktion y = f(x) ist an der Stelle 0 nach TAYLOR (Bild 1) entwickelt.
Statt 0 als Entwicklungsstelle zu wählen, kann man die Funktion
auch
an jeder anderen Stelle 
entwickeln. Dazu ersetzt man zweckmäßigerweise zunächst
x durch 
und ordnet dann nach steigenden Potenzen von 
und erhält:
Beispiel
Für die ganzrationale Funktion 
ist das TAYLOR-Polynom an
den Stellen 
zu ermitteln.
Für die Ableitungen von f(x) erhält man
und somit
Nach den taylorschen Formeln erhält man daraus als TAYLOR-Polynom
