Eine Differenzialgleichung ist eine Gleichung, in der Ableitungen unbekannter Funktionen auftreten. Handelt es sich bei den Funktionen um Funktionen einer Veränderlichen, so nennt man die Differenzialgleichungen "gewöhnliche Differenzialgleichungen", bei mehreren Veränderlichen "partielle Differenzialgleichungen".
Beispiele für gewöhnliche
Differenzialgleichungen sind
oder
auch 
.
Die Theorie der Differenzialgleichungen untersucht, ob es eine oder mehrere Funktionen gibt, die, in die Differenzialgleichung eingesetzt, diese für jeden Wert der Variablen erfüllen und wie diese Funktion bzw. diese Funktionen gefunden werden können. Für einige Typen von Differenzialgleichungen lassen sich exakte Verfahren zum Auffinden von Lösungen angeben, sonst müssen Näherungsverfahren oder numerische Verfahren verwendet werden.
Die Lösung einer Differenzialgleichung heißt Integral der Differenzialgleichung. Integrieren einer Differenzialgleichung heißt, alle Funktionen zu finden, die für alle Werte der Variablen der Differenzialgleichung genügen. Das übliche Integrieren im Sinne der Integralrechnung wird Quadratur genannt.
Die höchste in einer Differenzialgleichung vorkommende Ableitung
bestimmt die Ordnung der Differenzialgleichung.
Durch 
ist also eine gewöhnliche Differenzialgleichung n-ter Ordnung charakterisiert.
Treten Potenzen der Ableitungen und/oder der Funktion auf, so bezeichnet
die höchste Potenz den Grad
der Differenzialgleichung.
Beispiel
Die Gleichung 
ist
eine gewöhnliche Differenzialgleichung 2. Ordnung vom 3. Grade.
Gewöhnliche Differenzialgleichungen heißen linear,
wenn die Ableitungen und die Funktion nicht als Argument von Funktionen
auftreten. Eine solche lineare Differenzialgleichung heißt lineare
homogene Differenzialgleichung,
wenn sie keinen von y und 
freien Summanden enthält.
Die Gleichung 
ist
also eine lineare homogene Differenzialgleichung; bei Ersetzung von 0
durch eine Konstante oder einen Ausdruck der Veränderlichen x läge
eine lineare inhomogene Differenzialgleichung
vor.
Die Gleichung 
ist
die explizite Form einer
gewöhnlichen Differenzialgleichung n-ter Ordnung. Ist eine solche
Darstellung nicht möglich, ist also 
so heißt die Darstellung implizit.
Um aus den Kurvenscharen, die die Integrale liefern – Existenz vorausgesetzt – eine spezielle Kurve auszuwählen (eine partikuläre Lösung), kann für gewöhnliche Differenzialgleichungen 1. Ordnung ein Anfangwert - gegeben durch die Koordinaten eines Punktes der Lösungskurve - vorgeschrieben werden, für Differenzialgleichungen 2.Ordnung ein Anfangswert und die Tangentenrichtung in diesem Punkt, für eine Differenzialgleichung 3. Ordnung zusätzlich zu Anfangspunkt und Tangentenrichtung in diesem Punkt die Krümmung der Integralkurve in dem Punkt usw. Das Bestimmen einer solchen partikulären Lösung heißt Lösen eines Anfangswertproblems.