Mitunter wird man mit dem Problem konfrontiert, die Wahrscheinlichkeit
für ein Ereignis A zu berechnen, das im Zusammenhang mit n verschiedenen
Ereignissen 
auftritt (in der Praxis können die
zum Beispiel verschiedene Fälle
oder Ursachen von A sein), wobei sich
die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse
und insbesondere für das Eintreten von A unter der Bedingung, dass
jeweils ein
eingetreten ist, mitunter leichter angeben bzw. ermitteln lassen.
Gesucht ist also eine Aussage über eine "unbedingte" Wahrscheinlichkeit,
wenn Informationen über bedingte Wahrscheinlichkeiten vorliegen bzw.
primär bestimmbar sind. Bei einer solchen Problemsituation wird man
versuchen, den im Folgenden angeführten Satz
der totalen Wahrscheinlichkeit anzuwenden.
- Bilden die Ereignisse
eine Zerlegung von 
,
d.h., besitzen die Ereignisse
die Eigenschaften
so gilt:
Die Gültigkeit dieser Aussage kann man leicht veranschaulichen
(s. dazu Bild 1). Der Einfachheit halber wählen wir als Zerlegung
von
die Ereignisse B und 
mit positiver Wahrscheinlichkeit. Dann gilt 
und somit 
aufgrund der Additivität von P, da 
ist.
Aufgrund des Multiplikationssatzes
und 
folgt dann:
Anmerkung: Die Bezeichnung totale
(oder volle bzw. vollständige)
Wahrscheinlichkeit nimmt Bezug auf
den Sachverhalt, dass aus den bedingten Wahrscheinlichkeiten
eines Ereignisses A die unbedingte (totale
...) Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann.
Die Gegebenheiten des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit können
auch als zweistufiger Vorgang aufgefasst
werden, wobei auf der ersten Stufe die Bedingungen
und auf der zweiten Stufe das Ereignis A beobachtet werden. Man kann den
Sachverhalt mithilfe eines Baumdiagramms
(Bild 2) veranschaulichen, der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit erweist
sich dann als ein Spezialfall der zweiten
Pfadregel.
Der hier angegebene Satz der totalen Wahrscheinlichkeit lässt sich wie folgt verallgemeinern:
- Die Zerlegung von
kann aus abzählbar unendlich vielen Ereignissen
bestehen. Es gilt dann:
- Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit kann auch benutzt werden,
wenn mehrere Zerlegungen vorliegen, d.h., wenn der entsprechende Vorgang
als ein mehrstufiger Vorgang aufgefasst werden kann. Wählt man
der Einfachheit halber auf der ersten Stufe die Zerlegung B und
und auf der zweiten Stufe eine Zerlegung C und
(s. Bild 3), so erhält man:
Wir betrachten zur Anwendung
des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit das folgende Beispiel:
Ein Unternehmen, das großen Wert auf seinen guten Ruf legt, strebt
an, dass kein von ihm produziertes Gerät das Werk verlässt,
das unbrauchbar ist. Dazu verwendet man ein kostengünstiges Prüfverfahren,
das allerdings keine hundertprozentig richtigen Aussagen darüber
liefert, ob ein kontrolliertes Gerät tatsächlich unbrauchbar
ist oder nicht. 
bezeichne das Ereignis, dass ein hergestelltes
Gerät brauchbar ist, und 
das Ereignis, dass ein kontrolliertes
Gerät als brauchbar eingestuft
wird. Zur Fundierung der Unternehmensstrategie möchte man den mittleren
Anteil der durch das Prüfverfahren als unbrauchbar eingestuften und
damit nicht zur Auslieferung kommenden Geräte kennen.
Wir gehen zur Lösung des Problems
von folgenden fiktiven (auf Erfahrungswerten beruhenden) Angaben aus:
Mithilfe des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit erhält man:
Obwohl im Durchschnitt nur 6 von 100 Geräten nach der Produktion
tatsächlich unbrauchbar sind, werden durch das Prüfverfahren
etwa 12 Geräte als solche eingestuft.
Wie dieses Ergebnis ökonomisch zu bewerten ist, würde von einem
Kostenvergleich abhängen. Sollte man als "Unternehmer"
mit diesem Resultat unzufrieden sein, so können verschiedene Veränderungsmöglichkeiten
durchgespielt werden, wie (s. interaktives Beispiel)
- eine Verbesserung der Produktion, d.h. eine Vergrößerung
von
; - die Verwendung eines Prüfverfahrens, das unbrauchbare Geräte
besser als solche identifiziert, d.h. eine Vergrößerung von
; - den Einsatz eines Prüfverfahrens, das brauchbare Geräte
besser als solche identifiziert, d.h. eine Vergrößerung von
.
Erstrebenswert wäre natürlich ein
vollständiges Überprüfen der produzierten Geräte.
Das ist aber oftmals sehr teuer oder sehr zeitaufwendig oder auch
gar nicht möglich.