Der berühmte
russische Mathematiker A. N. KOLMOGOROW (1903 bis 1987,
Bild 1) warf in seiner grundlegenden Arbeit zur Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitsrechnung
aus dem Jahre 1933 die Frage auf, wie es möglich ist, dass sich die
Wahrscheinlichkeitsrechnung in eine große, ihre
eigenen Methoden besitzende selbstständige Wissenschaft entwickelt hat,
wenn es sich bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung doch lediglich um eine
spezielle (additive) Funktion handelt, die einem Ereignis eine reelle Zahl
zwischen 0 und 1 zuordnet.
KOLMOGOROW gelangte zu dem Schluss, dass geschichtlich betrachtet der mathematische
Begriff der Unabhängigkeit von Zufallsexperimenten
und zufälligen Größen derjenige ist, welcher der
Wahrscheinlichkeitsrechnung ihr eigenartiges Gepräge gibt. Denkt man
nur an solche fundamentalen Gegenstände der Stochastik, wie BERNOULLI-Ketten,
den Grenzwertsatz von MOIVRE-LAPLACE und den zentralen Grenzwertsatz, so
werden mit ihnen vor allem Aussagen über Folgen
unabhängiger Zufallsgrößen gemacht.
Für die Definition der Unabhängigkeit von Zufallsgrößen nutzt man die Ansätze und Erkenntnisse, die im Zusammenhang mit dem Begriff der stochastischen Unabhängigkeit von Ereignissen gewonnen wurden, indem die Unabhängigkeit von Zufallsgrößen als Unabhängigkeit von Ereignissen interpretiert wird.
- Definition: Es seien
und 
zwei endliche Zufallsgrößen.
Sind die Ereignisse
für alle i, j unabhängig, d.h., gilt
dann heißen die Zufallsgrößen X und Y unabhängig.
Das Vorgehen bei obiger Definition ist leicht nachzuvollziehen und verständlich. Und doch hat es einen Nachteil: Es ist schlecht verallgemeinerbar, z.B. auf stetige Zufallsgrößen. Man definiert deshalb auch allgemeiner:
- Definition: Die stetigen Zufallsgrößen
X, Y heißen unabhängig, wenn für alle
die Ereignisse 
unabhängig sind.
Wichtig ist, dass im Fall endlicher Zufallsgrößen beide Definitionen äquivalent sind (was hier allerdings nicht bewiesen werden soll). Dies gewährleistet die innere Geschlossenheit der theoretischen Konstruktion.
Anwendungen zur Unabhängigkeit von Zufallsgrößen
- Für unabhängige Zufallsgrößen X und Y gilt:
Beweis (für endliche Zufallsgrößen
X, Y):
Anmerkung: Die Beziehung 
gilt für beliebige Zufallsgrößen.
- Für unabhängige Zufallsgrößen X und Y gilt:
Auf den Beweis dieser Aussage wird hier verzichtet.
- Anwendungsbeispiel
Mit zwei LAPLACE-Würfeln wird unabhängig voneinander gewürfelt. Die Augensumme
besitzt dann folgende Verteilung:
Das zugehörige Histogramm hat
die Gestalt eines Dreiecks bzw. einer stilisierten Glocke (Bild 2). Aus
dem zentralen Grenzwertsatz ist bekannt, dass die Verteilung der Augensumme
für hinreichend viele unabhängige Würfelvorgänge mit
L-Würfeln annähernd eine Normalverteilung
ist, wobei dieses Ergebnis wesentlich aus der Unabhängigkeit der
Würfelvorgänge resultiert.
Statt mit L-Würfeln soll nun mit zwei gezinkten Würfeln unabhängig
voneinander gewürfelt werden. Die Frage ist dann, ob die maßgeblich
von der Unabhängigkeit ausgehende Tendenz zur Normalverteilung durch
eine wirksame Zinkung so weit gedämpft werden kann, dass die Augensumme
gleichverteilt
ist.
Für 
und 
zum Beispiel erhält man das in Bild 3 dargestellte Histogramm. An
den Rändern zeigt sich tatsächlich eine Tendenz zur Gleichverteilung.
Die "Mitte" sieht allerdings nicht so günstig aus.
Interaktiv
kann es mit anderen Zufallsgrößen 
versuchen (s. Bild 4). Die Bemühungen werden wohl kaum von Erfolg
gekrönt sein. Oder doch?