Zwei Ereignisse
A und B mit positiver Wahrscheinlichkeit sind genau dann voneinander stochastisch
unabhängig, wenn gilt:
Man kann diesen Ansatz auf endlich oder
abzählbar viele Ereignisse ausdehnen,
wobei der Einfachheit halber vorausgesetzt wird, dass alle betrachteten
Ereignisse eine positive Wahrscheinlichkeit besitzen. Dabei ist aber Vorsicht
geboten. Es ist zum Beispiel möglich, dass die Ereignisse 
paarweise voneinander unabhängig sind (d.h., je zwei der Ereignisse
sind voneinander unabhängig), die Ereignisse
in ihrer Gesamtheit sind dies aber nicht.
Ein Beispiel, das auf den russischen Mathematiker SERGEJ NATANOWITSCH BERNSTEIN
(1880 bis 1968, Bild 1) zurückgeht, soll das im Folgenden erläutern
(neben den Problemen der Wahrscheinlichkeitstheorie beschäftigte sich
BERNSTEIN auch mit der Approximationstheorie und mit partiellen Differentialgleichungen).
- Von den vier Flächen eines fairen Tetraeders sei eine rot, eine
blau, eine grün gefärbt. Die vierte Fläche ist mit allen
drei Farben bunt bemalt. Das Tetraeder wird geworfen, und es werden
die folgenden Ereignisse betrachtet:
Da bei jeweils zwei von den vier Flächen des Tetraeders die Farbe
rot bzw. blau bzw. grün vorkommt, gilt 
.
Andererseits ist nur eine Fläche mit allen drei Farben bunt bemalt,
sodass sich ergibt:
Damit sind die Ereignisse 
paarweise voneinander unabhängig.
Es gilt aber nicht 
,
denn es ist 
(nur eine Fläche trägt alle drei Farben) und 
.
Eine Definition
der Unabhängigkeit für n Ereignisse
muss also gewährleisten, dass alle Kombinationen von Ereignissen,
die man mit
bilden kann, voneinander unabhängig sind, d.h., es muss jegliche
Abhängigkeit ausgeschlossen werden. Man spricht deshalb auch von
vollständiger stochastischer Unabhängigkeit oder von stochastischer
Unabhängigkeit in der Gesamtheit.
- Definition: Die Ereignisse heißen
(vollständig) stochastisch unabhängig,
wenn für jede natürliche Zahl k mit
und für jede Teilmenge von k Ereignissen 
der Menge 
gilt:
Anmerkung: Zum Nachweis der Unabhängigkeit
von n Ereignissen sind 
Gleichungen zu überprüfen.
Für drei Ereignisse
bedeutet das, dass sie stochastisch unabhängig sind, wenn die folgenden
vier Gleichungen erfüllt sind:
Die Notwendigkeit eines so umfassenden Unabhängigkeitsbegriffs wird
auch dadurch bekräftigt, dass sich bezogen auf drei Ereignisse aus
der Gültigkeit der Gleichung (4) nicht zwangsläufig die Gültigkeit
der drei anderen Gleichungen ergibt. Auch das soll durch ein spezielles
Beispiel belegt werden.
- Es werden zwei faire Würfel einmal geworfen, von denen der eine
weiß und der andere schwarz ist.
Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:
In Mengenschreibweise können die Ereignisse
auch wie folgt angegeben werden:
Dann gilt:
Es gilt folgender Satz (wobei diese Aussage nicht umgekehrt werden kann,
wie das obige Beispiel gezeigt hat):
- Multiplikationsformel:
Sind die Ereignisse
(vollständig) stochastisch unabhängig, dann gilt:
