Lottospieler vertrauen
darauf, dass jede Ausspielung der Gewinnzahlen unter gleichen Bedingungen
stattfindet und dass die Ergebnisse der vorangegangenen Ausspielungen keinen
Einfluss auf die kommende Ausspielung haben.
Sei A das Ergebnis der vorangegangenen Ausspielung bei der Spielart "6
aus 49", dann gilt für die bedingte
Wahrscheinlichkeit:
Ganz anders ist die Situation während einer
Ausspielung. Jede gezogene Zahl beeinflusst die Wahrscheinlichkeit für
die nachfolgende Ziehung erheblich, da die gezogene Kugel nicht in die Ziehungstrommel
zurückgelegt wird. In diesem Fall gilt:
Das heißt, wenn die zuerst gezogene Zahl vom Spieler getippt wurde,
erhöht sich für ihn die Wahrscheinlichkeit auf sechs Richtige.
Mit obigem Beispiel wird eine grundlegende stochastische Beziehung thematisiert, und zwar die der Unabhängigkeit zweier Ereignisse.
- Zwei Ereignisse A und B mit
heißen genau dann voneinander (stochastisch)
unabhängig, wenn 
gilt
(d.h., die bedingte Wahrscheinlichkeit
ist gar nicht von der Bedingung B abhängig).
Wenn A und B unabhängig voneinander sind und 
gilt, ist ebenso die bedingte Wahrscheinlichkeit 
für das Ereignis B nicht von der Bedingung A abhängig.
Anmerkung: Vorsicht ist beim Übertragen des Begriffs der stochastischen Unabhängigkeit auf mehr als zwei Ereignisse geboten. Die Forderung nach paarweiser Unabhängigkeit reicht nicht aus, da man jegliche Abhängigkeit ausschließen muss.
Unmittelbar aus der Definition ergeben sich einige wichtige Eigenschaften
für zwei voneinander stochastisch unabhängige
Ereignisse A und B mit
und :
Das ist der spezielle Multiplikationssatz, der mit der Definitionsgleichung für stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse äquivalent ist und deshalb mitunter auch als Definition benutzt wird.- Stochastisch voneinander unabhängig sind auch die Ereignisse
A und
,
und
B sowie
und .
Die scheinbar einfache und einsichtige Definition stochastischer Unabhängigkeit bereitet in der Anwendung mitunter Schwierigkeiten. Das hat seine Ursache unter anderem darin, dass dieser Begriff der Stochastik bewusst oder unbewusst mit anderen Vorstellungen (z.B. aus dem täglichen Sprachgebrauch) verbunden wird, die nicht mit der Definition zu vereinbaren sind:
(1) Die Begriffe Unabhängigkeit bzw.
unabhängig werden in unterschiedlichen
Bedeutungszusammenhängen benutzt, u.a. in der Umgangssprache, im
Völkerrecht, in der Geschichte und in der Philosophie. In der Mathematik
spricht man im Zusammenhang mit Funktionen von unabhängigen Variablen
und in der Analytischen Geometrie von linear unabhängigen Vektoren.
Der Begriff der stochastischen Unabhängigkeit kann aber nur aus der
oben angegebenen Definition verstanden werden und nicht aus vermeintlichen
Ähnlichkeiten oder Parallelen zu anderen Begriffsverwendungen.
(2) Die Unabhängigkeit von Ereignissen darf nicht mit der Unvereinbarkeit
von Ereignissen verwechselt werden.
Die Unvereinbarkeit
zweier Ereignisse A, B wird definiert als 
,
d.h., Unvereinbarkeit ist lediglich eine Eigenschaft der Ereignisse ganz
ohne Wahrscheinlichkeit. Unabhängigkeit von zwei Ereignissen kann
aber nicht bestimmt werden ohne die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.
Es kommt hinzu, dass die gemeinsame Vorsilbe "un" manchen zu
der Vorstellung verleitet, unvereinbare Ereignisse müssten unabhängig
sein. Das ist falsch, denn es gilt das Gegenteil:
- Sind die zwei Ereignisse A und B mit
und
unvereinbar, so sind sie nicht voneinander unabhängig.
Beweis: Aus
und
folgt 
;
aus
folgt 
.
Somit ist 
und folglich 
(w.z.b.w.).
(3) Nicht selten wird stochastische Unabhängigkeit auch mit Kausalität
in Verbindung gebracht und vermutet, dass zwei Ereignisse, zwischen denen
keine kausale Beziehung besteht, unabhängig sein müssten. Das
ist nicht der Fall, wie folgendes Beispiel
zeigen soll:
- Eine Urne enthält zwei weiße und zwei schwarze Kugeln.
"Auf gut Glück" werden nacheinander zwei Kugeln ohne
Zurücklegen entnommen. Wir betrachten die folgenden Ereignisse
A und B:
Das zeitlich nachfolgende Ereignis B hat keinen kausalen Einfluss auf
das Ereignis A. Trotzdem sind beide Ereignisse nicht unabhängig,
auch nicht A von B, denn es gilt 
und 
.
(Da die zweite Kugel weiß ist, kann
auch interpretiert werden als die Wahrscheinlichkeit, aus einer Urne mit
drei Kugeln (zwei schwarzen und einer weißen) die weiße Kugel
zu ziehen.)
Trotz dieser genannten Schwierigkeiten steht man in der Praxis häufig
vor der Situation, die Unabhängigkeit zweier Ereignisse auf der Grundlage
einer Analyse der entsprechenden Sachzusammenhänge
anzunehmen. Das ermöglicht es einerseits, die Definitionsgleichung
bzw. den Multiplikationssatz als Berechnungsformel zu nutzen. Andererseits
hat eine fälschlicherweise angenommene Unabhängigkeit oft gravierende
Auswirkungen in Gestalt eines systematischen Fehlers.
Ereignisse, die sich bei der getrennten Wiederholung eines Zufallsexperiments
unter gleichen Bedingungen ergeben, wird man als voneinander unabhängig
ansehen können. Aber wie ist es z.B. mit zwei Personen, die getrennt
voneinander ein Manuskript korrigieren? Die erste Person findet a Fehler,
die zweite b Fehler, und c Fehler wurden sowohl von der ersten als auch
von der zweiten Person entdeckt. Man wird aber nicht
davon ausgehen können, dass 
gilt, d.h., dass Unabhängigkeit vorliegt, da beide Personen im Allgemeinen
über ganz unterschiedliche Fähigkeiten und Erfahrungen bei der
Fehlersuche verfügen und so mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit
einen Fehler finden werden.
Da man aber bei vielen Anwendungen die Unabhängigkeit als Modellannahme
machen möchte, wurden spezielle Testverfahren
entwickelt, um dies zu überprüfen.