Unterräume

Durch Beschreibung der Vektoren des Anschauungsraumes mittels Koordinaten erhält man den Vektorraum V mit

In U werden die Ortsvektoren der Punkte einer Ebene durch den Ursprung O zusammengefasst, beispielsweise:

Die Teilmenge U des Vektorraumes V ist bezüglich der Addition und der skalaren Vervielfachung in V wieder ein Vektorraum.
Durch Bild 1 wird der anschauliche Charakter des Beispiels unterstrichen.

Beziehen sich dagegen die Ortsvektoren auf Punkte einer Ebene, die nicht den Ursprung O enthält, wie in der Menge

so ist die Teilmenge L von V kein Vektorraum (Bild 2), da (und es gibt viele Begründungen dafür( z.B. , aber , was der Eigenschaft (4) der Vektorraumdefinition widerspricht.

• Definition: Eine Teilmenge U eines Vektorraumes V, die selbst bezüglich der Addition und der Vervielfachung in V ein Vektorraum ist, heißt Unterraum U des Vektorraumes V.

Ist eine Teilmenge U eines Vektorraumes selbst bezüglich ein Vektorraum, so führen die Summenbildung und die skalare Vervielfachung nicht aus U hinaus und es existieren ein Nullelement und für jedes Element ein entgegengesetztes Element in U. Die restlichen Bedingungen der Vektorraumdefinition gelten auf ganz V und damit auch in U.

Daraus ergibt sich der folgende Satz (Unterraumkriterium).

• Eine nichtleere Teilmenge U eines Vektorraumes V ist genau dann ein Unterraum von V, wenn für alle Vektoren aus U und für alle reellen Zahlen r gilt:
  

Beweis: Die Bedingungen sind notwendig. Sie sind auch hinreichend, da nach der vorbereitenden Bemerkung zum Satz für eine Teilmenge U mit den beiden Bedingungen nur noch (3) und (4) aus der Vektorraumdefinition nachzuweisen sind:
Im Vektorraum V ist der Nullvektor: Er gehört auch zu U, da ist, und folglich gilt (3) in U.
Wegen ist mit stets , was (4) in U bestätigt.
w.z.b.w.

Beispiele von Unterräumen spezieller Vektorräume
(1) Für jede natürliche Zahl n ist der Vektorraum der Polynome höchstens n-ten Grades (definiert sind alle Polynome auf ganz ) jeweils ein Unterraum des Funktionsraumes aller Funktionen mit Definitionsbereich .

(2) Im einleitend betrachteten Vektorraum V der Ortsvektoren des Anschauungsraum bilden Unterräume:
– der Vektorraum, der nur aus dem Nullvektor besteht;
– alle Ortsvektoren, die Punkte einer festen Geraden g durch O beschreiben;
– alle Ortsvektoren, die Punkte einer festen Ebene durch O beschreiben;
– der ganze Vektorraum V.
Der einleitend angegebene Unterraum U von V wird durch alle Linearkombinationen der Vektoren gebildet; die Koordinaten der Vektoren von U genügen der
Beziehung .
Es ist mit

ein Unterraum von U und damit auch von V (linke Figur in Bild 3 bzw. in nachstehendem Textbild).
Der Unterraum von V mit

ist aber kein Unterraum von U (rechtes Bild in Bild 3 bzw. im folgenden Textbild).



(3) Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems mit n Variablen ist ein Unterraum des Vektorraumes aller n-Tupel reeller Zahlen.

Linearkombinationen und Erzeugendensysteme
Gegeben seien ein Vektorraum V und die Vektoren .
Wir betrachten die Menge M aller Linearkombinationen dieser Vektoren, d.h. die Menge M mit

Diese Menge hat bezüglich der Addition und der Vervielfachung in V die folgenden Eigenschaften:

Das heißt, M ist ein Unterraum von V, und es gilt der folgende Satz:

• Sind Vektoren eines Vektorraumes V, so ist die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren bezüglich der Addition und der Vervielfachung in V wieder ein Vektorraum, d.h. ein Unterraum von V.

Für so erzeugte Unterräume sind die in der folgenden Definition angegebenen Benennungen üblich:

• Der durch alle Linearkombinationen der Vektoren gebildete Unterraum U eines Vektorraumes heißt die lineare Hülle U der Vektoren (bzw. der von erzeugte Unterraum U bzw. der von aufgespannte Unterraum U).
  Die Menge wird ein Erzeugendensystem des Unterraumes U genannt.

Wir betrachten dazu das folgende Beispiel:

• Es sei der Vektorraum der Polynome höchstens 5. Grades, also
  
  Die Polynome mit
  
  gehören zu .
  Bildet man die Menge M aller Linearkombinationen dieser vier Polynome und wählt dabei die variablen Koeffizienten passend zu den Exponenten von x, so kann M wie folgt notiert werden:
  
  Aus folgt . Damit ist M nach dem Unterraumkriterium ein Unterraum von , der durch aufgespannt wird.
  Man erkennt, dass schon die drei Polynome den Unterraum M aufspannen und dass ein minimales Erzeugendensystem des Unterraumes M ist.