Um ein Los "auf
gut Glück" zu ziehen, benutzte man früher gern eine Urne.
Sie bot den Vorteil, dass man in sie hineingreifen kann, ohne dabei hineinzusehen.
Außerdem war es damit möglich, Alternativentscheidungen dem Zufall
zu überantworten, indem zum Beispiel schwarze und weiße Steine
oder farbige Kugeln als Repräsentanten der jeweiligen Alternativen
zu ziehen waren. Durch eine unterschiedliche Anzahl entsprechender Ziehungsobjekte
konnte obendrein die Ziehungswahrscheinlichkeit beeinflusst werden. So nutzten
schon im antiken Griechenland die Priesterinnen im Tempel von Delphi Urnen
mit schwarzen und weißen Bohnen, um ein Orakel zu erstellen.
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung spielt das Ziehen
aus einer Urne mit verschiedenfarbigen, aber ansonsten gleichen Kugeln
immer noch eine besondere Rolle (Bild 1 zeigt ein Beispiel); allerdings
nicht so sehr als ein praktisches Zufallsexperiment, sondern vielmehr als
ein gedankliches Modell
zur Interpretation praktischer Aufgaben.
Die Bedeutung von Urnenmodellen bei der Lösung stochastischer Probleme beruht wesentlich auf folgenden Umständen:
- Jedes Zufallsexperiment mit endlich vielen Ergebnissen, deren Wahrscheinlichkeiten rationale Zahlen sind, kann durch ein adäquates (strukturgleiches) Urnenmodell ersetzt und interpretiert werden.
- Mit dem Übergang zum Urnenmodell wird der reale zufällige Vorgang geordnet, auf seine wesentlichen wahrscheinlichkeitstheoretischen Zusammenhänge und Strukturen gebündelt und auf eine Art Standardsituation, die relativ einfach und bequem zu handhaben ist, zurückgeführt. Unterschiedlichste praktische Probleme können so durch dasselbe (eventuell parameterabhängige) Urnenmodell beschrieben werden.
- Das gedankliche Urnenmodell kann ein Objekt der Ideenfindung bei der Suche nach Lösungsansätzen für das Ausgangsproblem sein, da an ihm leichter, gleichsam experimentell Abänderungen und Modifikationen vorgenommen werden können.
Schon CHRISTIAAN HUYGENS (1629 bis 1695; Bild 2) benutzte in seinem Traktat
über Glücksspiele zur wahrscheinlichkeitstheoretischen Analyse
der fairen Wette das Ziehen eines weißen Steines aus acht schwarzen
und vier weißen Steinen mit verbundenen Augen.
Im Weiteren sollen einige Urnenmodelle dargestellt werden, die gleichsam
Standardsituationen bei der Analyse praktischer Probleme verkörpern.
- Beispiel 1
In einer Urne befinden sich genau N gleichartige Kugeln, von denen M
schwarz und N – M
weiß sind. Die Kugeln sind gut durchmischt. Der Urne wird "auf
gut Glück", "blind" eine Kugel entnommen, sodass die
Wahrscheinlichkeit für die Ziehung einer bestimmten Kugel für
alle gleich ist, nämlich 
.
Für die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu entnehmen, gilt
dann:
.
Diesem Urnenmodell entspricht ein BERNOULLI-Experiment
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p (wobei "Erfolg" bedeutet,
eine schwarze Kugel gezogen zu haben).
- Beispiel 2
Ausgegangen wird von der gleichen Urnensituation wie in Beispiel
1. Von der "auf gut Glück" entnommenen Kugel wird
die Farbe registriert. Danach wird die gezogene Kugel in die Urne zurückgelegt
und der Urneninhalt gut durchmischt, sodass sich für eine nächste
Ziehung die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung und damit Unabhängigkeit
ergibt.
Wird dieses Ziehungsschema mit Zurücklegen n-mal durchgeführt,
so entspricht dies einer BERNOULLI-Kette und die Anzahl der insgesamt
gezogenen schwarzen Kugeln ist binomialverteilt,
d.h., es gilt:
- Beispiel 3
Betrachtet wird das gleiche Urnenmodell wie unter Beispiel
2. Registriert wird aber nur die Anzahl der Ziehungen bis erstmalig
eine schwarze Kugel entnommen wird.
Diese zufällige Anzahl X ist geometrisch
verteilt, und es gilt:
- Beispiel 4
Betrachtet wird das unter Beispiel 2 beschriebene
Urnenmodell, allerdings wird die jeweils gezogene Kugel nicht in die Urne
zurückgelegt. Bei diesem Ziehungsschema ohne Zurücklegen ändert
sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei jeder Entnahme in Abhängigkeit
vom Ausgang der vorangegangenen Entnahme. Wurde z.B. beim ersten Mal eine
schwarze Kugel gezogen, so gilt für die Wahrscheinlichkeit, beim
zweiten Mal wieder eine schwarze Kugel zu ziehen:
Dieses Urnenmodell entspricht einer hypergeometrischen
Verteilung, und die Wahrscheinlichkeit, bei insgesamt n Ziehungen
genau k schwarze Kugeln entnommen zu haben, beträgt:
- Beispiel 5
Eine Urne enthalte genau M schwarze und N – M
weiße Kugeln. Der Urne wird "auf gut Glück" eine
Kugel entnommen und deren Farbe registriert. Die gezogene Kugel wird zusammen
mit s Kugeln der jeweils gleichen Farbe in die Urne zurückgelegt.
Dieser Vorgang wird insgesamt n-mal durchgeführt.
Dieses Urnenmodell entspricht einer PÓLYA-Verteilung
und die Wahrscheinlichkeit, bei n Ziehungen genau k schwarze Kugeln entnommen
zu haben, beträgt:
Die PÓLYA-Verteilung wird z.B. angewandt, um die Ausbreitung ansteckender
Krankheiten zu untersuchen, wenn also das Erkranken einer Person (schwarze
Kugel gezogen) die Wahrscheinlichkeit für das Erkranken anderer erhöht
(mit der gezogenen schwarzen Kugel kommen s weitere schwarze Kugeln in
die Urne zurück). Sie wird deshalb mitunter auch Ansteckungsverteilung
genannt.
- Beispiel 6
In einer Urne befinden sich genau N Kugeln, wobei jede Kugel zu einer
anderen Sorte gehört, also N Sorten. Die Einteilung der Kugeln in
Sorten kann am einfachsten mithilfe einer Durchnummerierung erreicht werden.
Aus der Urne wird eine Kugel "auf gut Glück" gezogen. Die
Wahrscheinlichkeit, eine Kugel mit der Nummer k 
zu ziehen, beträgt ,
d.h. diesem Urnenmodell entspricht die Gleichverteilung.
- Beispiel 7
In jeder der m + 1
Urnen 
befinden sich m Sorten von Kugeln und zwar in solchen Proportionen, dass
die Wahrscheinlichkeit, in der i-ten Urne eine Kugel der j-ten Sorte zu
ziehen, 
beträgt. Für die Urne 
sei die Wahrscheinlichkeit eine Kugel der j-ten Sorte zu entnehmen 
.
Zuerst wird der Urne
"auf gut Glück" eine Kugel mit Zurücklegen entnommen.
Wurde eine Kugel der k-ten Sorte gezogen, so wird als nächstes der
k-ten Urne eine Kugel "auf gut Glück" mit Zurücklegen
entnommen. Wurde jetzt eine Kugel der j-ten Sorte gezogen, so erfolgt
die nächste Ziehung aus der j-ten Urne usw.
Auf diese Weise erhält
man einen zufällig ablaufenden Ziehungsprozess, der einer homogenen
MARKOW-Kette mit den Zuständen
, den
Übergangswahrscheinlichkeiten
und
den Anfangswahrscheinlichkeiten 
entspricht.