Besonders bei der mathematischen Beschreibung von Schwingungsvorgängen
wird häufig von Winkelfunktionen, speziell der Sinusfunktion
mit Gleichungen der Form 
Gebrauch gemacht. Daraus resultieren auch Übereinstimmungen in den
Bezeichnungen, auf die nachfolgend zurückgekommen wird.
Ausgehend von der Funktion 
und ihrem Graphen sollen zunächst die Eigenschaften von Funktionen
mit der Gleichung
für verschiedene Werte der darin auftretenden Parameter untersucht
werden.
(1) Mit b = 1, c = 0 und 
erhält man aus
die Gleichung y
= 
(x) = a sin
x.
Für a = - 1, a = 0,5, a = 1 und a = 3 sind die Graphen der Funktionen
im Bild 1 dargestellt.
Folgende Eigenschaften der Funktionen sind erkennbar:
- Die Funktionen sind periodisch mit der gemeinsamen Periode
. - Da der Maximum- bzw. der Minimumpunkt von
die Ordinate 1 bzw. - 1 hat, besitzt die Ordinate dieser Punkte
für die Funktionen (x)
= a sin x den Werte a bzw. - a.
- Falls a > 1, geht der Graph von
durch Streckung in Richtung der y-Achse aus dem Graphen von f
hervor.
- Falls 0 < a < 1, geht der Graph von
durch Stauchung in Richtung der y-Achse aus dem Graphen von f hervor.
- Falls a < 0, geht der Graph von
durch Spiegelung an der x-Achse und anschließender Streckung oder
Stauchung in Richtung der y-Achse aus dem Graphen von f hervor.
- Die Funktionen y = (x)
= a sin x haben die gemeinsamen Nullstellen
.
In der Funktion f mit y = f(x) = a · sin x heißt a 
die Amplitude der Sinuskurve;
a gibt den maximalen, - a den minimalen Ordinatenwert an.
(2) Mit a = 1, c = 0 und 
erhält man aus
die Gleichung y =
(x)
= sin bx.
Für b = - 1, b = 0,5, b = 1 und b = 2 sind die Graphen der Funktionen
im Bild 2 dargestellt.
Folgende Eigenschaften der Funktionen sind erkennbar:
- Da die Funktion
an den Stellen
Nullstellen besitzt, dort also den Wert 0 annimmt, trifft dies für
die Funktion (x)
= sin bx dann zu, wenn 
. - Die Funktionen y = (x)
= sin bx sind periodisch, besitzen jedoch die von b abhängige unterschiedliche
Periodenlänge
. - Da der Maximum- bzw. der Minimumpunkt von y = sin x die Ordinate 1
bzw. - 1 hat, gilt dies auch für alle Graphen von
y =(x) =
sin bx. - Falls b > 1, geht der Graph von
durch Stauchung in Richtung der x-Achse aus dem Graphen von f hervor.
- Falls 0 < b < 1, geht der Graph von
durch Streckung in Richtung der x-Achse aus dem Graphen von f hervor.
- Falls b < 0, geht der Graph von
wegen
durch Spiegelung an der x-Achse und anschließender Streckung oder
Stauchung in Richtung der x-Achse aus dem Graphen von f hervor.
In der Funktion f mit y = f(x) = sin bx heißt b 
die Frequenz der Sinuskurve.
Die Frequenz gibt die Anzahl der vollständigen Perioden in einem
Intervall der Länge
an.
(3) Mit a = 1, b = 1 und c 
0 erhält man aus
die Gleichung y = 
(x)
= sin(x + c).
Für 
sind die Graphen der Funktionen im Bild 3 dargestellt.
Folgende Eigenschaften der Funktionen sind erkennbar:
- Da die Funktion
an den Stellen Nullstellen
besitzt, dort also den Wert 0 annimmt, trifft dies für die Funktion
(x) = sin(x
+ c) dann zu , wenn
- Die Funktionen y = (x)
= sin(x + c) sind periodisch mit der gemeinsamen Periode .
- Da der Maximum- bzw. der Minimumpunkt von
die Ordinate 1 bzw. - 1 hat, gilt dies auch für alle Graphen
von y = (x)
= sin(x + c).
- Falls c > 0, geht der Graph von
durch Verschiebung nach links in Richtung der x-Achse aus dem Graphen
von f hervor.
- Falls c = 0, stimmen die Funktionsgleichungen von f und
und folglich auch ihre Graphen überein.
- Falls c < 0, geht der Graph von
durch Verschiebung nach rechts in Richtung der x-Achse aus dem Graphen
von f hervor.
In der Funktion f mit y = f(x) = sin (x + c) heißt c die Phasenverschiebung
der Sinuskurve.
(4) Mit 
erhalten wir die Funktionen ,
in denen die in (1) bis
(3) beschriebenen Eigenschaften miteinander verknüpft sind.
Für a = 2, b = 2 und 
sowie a = 1,5; b = 0,75 und 
sind die Graphen der Funktionen
bzw. sowie
im Bild
4 dargestellt.
Folgende Eigenschaften der Funktionen sind erkennbar bzw. mithilfe von
(1) bis (3) berechenbar:
