Unter einer Zahlenfolge
versteht man eine Menge von (reellen) Zahlen, die so geordnet ist, dass
feststeht, welches die erste, zweite, dritte, ... Zahl ist.
Man schreibt dafür 
und
nennt die 
Glieder der Zahlenfolge.
- Beispiel 1:
- Beispiel 2:
- Beispiel 3:
- Beispiel 4:
- Beispiel 5:
- Beispiel 6:
- Beispiel 7:
- Beispiel 8:
und schreibt dann 
.Im Folgenden wird das Anfangsglied immer mit
bezeichnet.
Bei einer Zahlenfolge sind alle Glieder eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet. Damit ist eine Zahlenfolge eine Funktion, deren Definitionsbereich die Menge der natürlichen Zahlen (bzw. eine bei 1 beginnenden Teilmenge davon) ist und deren Wertebereich eine Teilmenge der reellen Zahlen ist.
Eine Zahlenfolge heißt endlich,
wenn sie nur endlich viele Glieder besitzt. Wesentlich interessanter sind
aber unendliche Zahlenfolgen, bei denen durch ein Bildungsgesetz
(eine Formel oder auch eine verbale Vorschrift) angegeben ist, wie man
die Glieder der Folge erhält.
Für oben genannte Beispiele lassen sich folgende Bildungsgesetze
angeben:
- Beispiel 1:
- Beispiel 2:
- Beispiel 3:
- Beispiel 4:
- Beispiel 5:
- Beispiel 6:
- Beispiel 7:
Anmerkungen: Beispiel 7 ist die sogenannte
FIBONACCI-Folge, benannt nach dem italienischen Mathematiker LEONARDO
FIBONACCI VON PISA (etwa 1180 bis etwa 1250; Bild 1).
Beispiel 8 ist die Folge der Primzahlen. Hier gibt es keine Formel, nach
der man die nächste bzw. die erste, zweite, ..., n-te Primzahl berechnen
könnte.
Für alle Folgen lassen sich die Bildungsvorschriften
verbal beschreiben. Für einige Folgen lässt sich die Bildungsvorschrift
(das Bildungsgesetz) direkt angeben (vgl. Beispiele 1 bis 6). In diesem
Fällen, d.h., wenn eine Gleichung für das allgemeine Glied 
der Folge angegeben werden kann, die als Unbekannte nur n enthält,
spricht man von einer expliziten Bildungsvorschrift
(Rechenbeispiel 1).
Oftmals lässt sich die Bildungsvorschrift auch durch einen Bezug auf das vorangehende Glied (bzw. die vorangehenden Glieder) formulieren, was als rekursive Bildungsvorschrift (Rechenbeispiel 2) bezeichnet wird. In derartigen Fällen ist zur eindeutigen Bestimmung der Folge aber auch die Angabe des Anfangsgliedes (bzw. der Anfangsglieder) erforderlich (vgl. Beispiele 1, 2, 5, 6 und 7).
Da Zahlenfolgen (wie oben angegeben) Funktionen sind, lassen sie sich
auch grafisch darstellen. Da der Definitionsbereich aber die Menge der
natürlichen Zahlen (oder eine bei 1 beginnende Teilmenge davon) ist,
besteht der Graph aus einer Reihe
von diskreten Punkten.
Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel.
Betrachtet man die (oben angebenenen)
Beispiele weiter, so lässt sich Folgendes feststellen:
- In Beispiel 1 ist jedes Glied (um 2) größer als das vorhergehende. Man sagt, die Folge wächst.
- In Beispiel 2 ist jedes Glied kleiner als das vorhergehende. Man sagt, die Folge fällt.
- In Beispiel 4 hat jedes Glied ein anderes Vorzeichen als das vorhergehende. Man sagt, die Folge alterniert.
- In Beispiel 6 ist jedes Glied gleich dem vorhergehenden. Man sagt, die Folge ist konstant.
Diese und weitere Eigenschaften
von Zahlenfolgen kann man wie folgt definieren:
Wenn für alle Glieder einer Zahlenfolge 
,
also für alle n gilt
,
so ist die Folge monoton wachsend;
, so
ist die Folge monoton fallend;
(Anmerkung: Lässt man die Gleichheit zweier benachbarter Glieder nicht zu, so spricht man von strenger Monotonie.)
,
so ist die Folge alternierend;
,
so ist die Folge konstant;
,
so ist die Folge nach oben beschränkt
mit der Schranke S;
, so
ist die Folge nach unten beschränkt
mit der Schranke S.
(Eine Zahlenfolge
heißt genau dann beschränkt,
wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist).
Beispiele
|
Folge
|
Eigenschaften
|
 |
monoton wachsend; (nur) nach unten beschränkt (S = 1) |
 |
monoton wachsend; nach oben und unten beschränkt
(
) |
 |
alternierend; weder nach oben noch nach unten beschränkt |
 |
alternierend; nach oben und
unten beschränkt  |