Während die
Differenzialrechnung in der Untersuchung des Tangentenproblems wurzelt,
war Ausgangspunkt für die Entstehung der Integralrechnung die Beschäftigung
mit Inhaltsproblemen. Dabei erregte das Inhaltsproblem
sehr viel früher das Interesse als die Frage danach, ob für einen
beliebigen Funktionsgraphen in einem vorgegebenen Punkt die Tangente an
den Graphen existiert und wie man ihre Steigung ermitteln kann.
Bereits vor der Phase der griechisch-hellenistischen Mathematik waren einfache
Methoden zur Berechnung der Flächeninhalte einzelner Vielecke und der
Volumina einfacher Körper bekannt - gekleidet in die Form von
"Rezepten". Einige dieser Handlungsanweisungen lieferten richtige
und exakte Resultate, andere lediglich grobe Näherungen und einige
auch falsche Ergebnisse. So kann man den Quellen der ägyptischen Mathematik
entnehmen, dass der Flächeninhalt von Dreiecken gleich dem halben Produkt
einer Seite und der zugehörigen Höhe ist, aber der Flächeninhalt
eines Kreises wurde als das Quadrat von 
seines Durchmessers angegeben.
Der Grundgedanke für die Ermittlung von Rezepten für die Flächeninhaltsberechnung bestand in der geschickten Zerlegung der jeweiligen Fläche und der anschließenden Neuanordnung ihrer Teile. Auf diese Weise erzielte die ägyptische Mathematik viele wichtige Resultate für die Berechnung von Vielecken.
Die erste exakte Quadratur
einer Fläche, die nicht von
Geraden begrenzt wird, gelang - soweit bekannt - HIPPOKRATES
von CHIOS. Er berechnete um 450 v.Chr. den Flächeninhalt mehrerer
sogenannter "Kreismöndchen". (Überhaupt geht der
Begriff der Quadratur historisch gesehen
auf das Problem zurück, eine Kreisfläche in ein flächeninhaltsgleiches
Quadrat unter alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal zu verwandeln,
während man heute "Quadratur" allgemein für die Berechnung
des Flächeninhalts ebener, nicht geradlinig begrenzter Flächenstücke
verwendet.)
HIPPOKRATES gab so z.B. den Flächeninhalt 
der "Sichel" in Bild 1 mit 
an. Diese "Sichel" und das Dreieck ABC sind somit flächengleich.
Durch analoge Überlegungen konnte HIPPOKRATES zeigen, dass für
die Flächeninhalte der "Sicheln" in Bild 2 gilt:
In den folgenden 200 Jahren bemühten sich viele Mathematiker um
die exakte Berechnung des Flächeninhaltes parabolisch, elliptisch
und hyperbolisch begrenzter Flächen. Um 260 v.Chr. gelang es dem
griechischen Gelehrten ARCHIMEDES VON SYRAKUS (etwa 287 bis 212 v.Chr.),
Parabelsegmente zu berechnen. Er entwickelte
dazu die so genannte Exhaustionsmethode,
d.h., er "schöpfte" die unbekannte Fläche durch eine
Folge berechenbarer Flächen aus.
Dann allerdings dauerte es fast 2000 Jahre, bis ARCHIMEDES auf diesem
Gebiet Nachfolger in FRANCESCO BONAVENTURA CAVALIERI (1598 bis 1647), ISAAC
NEWTON (1643 bis 1727) und GOTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646 bis 1716) fand.
Diese entwickelten neben anderen Mathematikern Methoden, mit deren Hilfe
Flächeninhaltsberechnungen für beliebige Flächen sehr leicht
und schnell erfolgen können.
Die Exhaustionsmethode führte in Verbindung mit der Berechnung von
Grenzwerten von Folgen (obere und untere Rechtecksummen)
zum Begriff des bestimmten Integrals.