Ereignisse

Der mathematische Begriff des (zufälligen) Ereignisses ist für die Wahrscheinlichkeitstheorie von grundlegender Bedeutung. Ausgehend von der Erfahrung, dass beim Ablauf zufälliger Vorgänge deren Ergebnis im Rahmen verschiedener Möglichkeiten ungewiss ist, ordnet man in der Wahrscheinlichkeitstheorie jedem Zufallsexperiment eine Ergebnismenge zu.

• Jede Teilmenge A der Ergebnismenge eines Zufallsexperiments heißt (zufälliges) Ereignis A.

Dies soll im Folgenden anhand verschiedener Beispiele verdeutlicht werden.

• Zufallsexperiment 1: Einmaliges Werfen eines Würfels
  
  
• Zufallsexperiment 2: Zweimaliges Werfen eines Tetraeders
  
  
• Zufallsexperiment 3: Zehnmaliges Werfen eines Tetraeders
  
  

Anmerkung: Manchmal werden in der Literatur auch nur die Ereignisse "zufällig" genannt, die weder sicher noch unmöglich sind.

Stellt sich bei einem Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge das Ergebnis e mit der Eigenschaft A ein, so sagt man, dass Ereignis A tritt ein.
Ein Ereignis A tritt also ein, wenn eines seiner Ergebnisse e eintritt. Tritt ein Ergebnis e ein, so treten alle diejenigen Ereignisse ein, die eine Teilmenge von sind und e enthalten.
Beispiel:
Es sei . Tritt das Ergebnis 1 ein, so treten die Ereignisse und ein.

Die Menge aller Teilmengen einer endlichen oder abzählbar unendlichen Ergebnismenge eines Zufallsexperiments nennt man Ereignisraum und bezeichnet sie mit (Potenzmenge von ).
Die Potenzmenge umfasst Ereignisse.
Beispiel: Es sei .

Spezielle Ereignisse

• Die leere Menge heißt unmögliches Ereignis und es gilt:
  
• Die Ergebnismenge heißt sicheres Ereignis und es gilt:
  
• Ereignisse , die genau ein Ergebnis aus enthalten, heißen atomare Ereignisse oder auch Elementarereignisse.

Jeder Ereignisraum enthält genau atomare Ereignisse.
Beispiel: Es sei .
Dann gehören genau die drei atomaren Ereignisse zu .

Anmerkung: In Literatur und Praxis wird manchmal nicht sauber zwischen Ergebnis e und atomarem Ereignis unterschieden.

• Das Gegenereignis (komplementäre Ereignis, entgegengesetzte Ereignis) (lies: A quer) tritt genau dann ein, wenn A nicht eintritt.

Es gilt:

Beispiel: Es sei .

• Die Ereignisse heißen unvereinbar (oder mit dem Begriff der Mengentheorie: disjunkt) genau dann, wenn gilt.

Beispiel: Es sei .

Gilt für die paarweise unvereinbaren Ereignisse die Gleichung , so bilden sie eine Zerlegung von (s. nebenstehendes Bild).

• Zwei Ereignisse heißen (stochastisch) unabhängig voneinander, wenn der Multiplikationssatz gilt.

Beispiel: Wir betrachten folgende Elementarereignisse mit den in der folgenden Tabelle angegebenen Wahrscheinlichkeiten:

e	1	2	3	4
	0,2	0,3	0,2	0,3

Es gilt:

Damit sind A und B voneinander unabhängige Ereignisse.

• Drei Ereignisse mit positiver Wahrscheinlichkeit heißen paarweise (stochastisch) unabhängig, wenn , und gilt.

• Drei Ereignisse heißen (stochastisch) unabhängig, wenn sie sowohl paarweise (stochastisch) unabhängig sind als auch der Gleichung genügen.