Definition:
Es sei f eine im Intervall 
definierte Funktion, die in jedem abgeschlossenen Teilintervall von
einen kleinsten und einen größten Funktionswert besitzt.
Haben die beiden Folgen 
und 
einen gemeinsamen
Grenzwert, so heißt dieser gemeinsame Grenzwert das bestimmte
Integral der Funktion f im Intervall .
In Kurzform:
(gesprochen: Integral über f(x) dx von a bis b)
Dabei bezeichnet man
- a und b als Integrationsgrenzen,
- als Integrationsintervall,
- f(x) als Integrand (Integrandenfunktion),
- x als Integrationsvariable,
als Integrationszeichen,- dx als Differenzial.
Das Integralzeichen kann nie allein mit einer Funktion stehen. Zu jedem
Integralzeichen gehört auch die Angabe eines Differenzials, das die
Integrationvariable festlegt. Meist wird x als Variable verwendet. Ersetzt
man aber das x im Integranden und im Differenzial durch ein und dieselbe
andere Variable, so ist das für das bestimmte Integral ohne Bedeutung.
Die durch das bestimmte Integral eindeutig gegebene Zahl wird dadurch
nicht verändert. Es gilt:
Beispiel:
Es ist das bestimmte Integral 
zu berechnen (Bild 1).
Die Funktion f mit der Gleichung 
ist stetig und hat damit in jedem abgeschlossenen Teilintervall einen
kleinsten und einen größten Funktionswert. Wir wenden die obige
Definition des bestimmten Integrals an.
(1) Zerlegen des Intervalls 
in n gleich lange Teilintervalle der Länge 
(2) Bilden der Summen 
( das i-te Teilintervall ist 
)
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Für die Summen der ersten k Kubikzahlen gilt: 
.
Damit folgt:
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(3) Berechnen der Grenzwerte:
Da 
, gilt
.
Das bestimmte Integral 
kann geometrisch als Inhalt A der Fläche gedeutet werden, die vom
Graphen der Funktion f, der x-Achse und den Geraden x = a und x = b begrenzt
wird (interaktives Rechenbeispiel)
Monotonie und Stetigkeit
des Integranden im Intervall
sichern die Existenz des bestimmten Integrals über diesem Intervall,
d.h., Monotonie und Stetigkeit sind hinreichende
Bedingungen für die Integrierbarkeit einer Funktion. Sie sind
aber nicht notwendig: Es gibt Funktionen,
die integrierbar, aber nicht monoton, nicht stetig oder weder monoton
noch stetig sind.
Existiert das bestimmte Integral
im Intervall [a; b],
so wird festgelegt:
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| Beispiele: | |
a)  |
b)  |
Die Berechnung von Ober- und Untersummen kann sehr gut mithilfe einer
Tabellenkalkulation erfolgen.
Ein entsprechendes Beispiel
lässt sich mit MS Excel oder Open Office öffnen und bearbeiten.