Stichproben, Zusammensetzung

Wird aus einer Grundgesamtheit "auf gut Glück" eine (Teil-)Menge mit n Elementen ausgewählt, so handelt es sich dabei um eine sogenannte Stichprobe.
Die Anzahl n der Elemente gibt den Umfang der Stichprobe, den Stichprobenumfang an. Jedes einzelne Element der Stichprobe heißt Stichprobenwert.
Man kann auch sagen: In einer Stichprobe werden n-mal wiederholte Beobachtungen ein und derselben Zufallsgröße zusammengefasst.
Variieren die Beobachtungsergebnisse in nicht vorhersagbarer Weise (Zufälligkeit der Beobachtungsergebnisse) und beeinflussen sie einander nicht, sind sie also unabhängig voneinander, so hebt man dies gelegentlich durch die Verwendung des Begriffes Zufallsstichprobe besonders hervor. Unabhängigkeit der Beobachtungsergebnisse heißt also: Unabhängig davon, welche Elemente zuvor bereits für die Stichprobe "auf gut Glück" ausgewählt worden sind, kann anschließend jedes Element der Grundgesamtheit mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt werden.

Als häufige Auswahlformen von (Zufalls-)Stichproben seien die Klumpenstichprobe und die (proportional) geschichtete Stichprobe genannt.

Eine Klumpenstichprobe setzt sich stets aus allen Elementen von mindestens zwei "Klumpen" zusammen. Der Begriff "Klumpen" wird hier im Sinne von Teilmengen der Grundgesamtheit (Ziehen mehrerer Elemente auf einen Griff, Ziehen als "Klumpen") gebraucht. Beim Untersuchen einer Klumpenstichprobe untersucht man alle Elemente aller Klumpen.

Beispiele für Klumpenstichproben:

• Die Qualität eines bestimmten Produktes (z.B. einer Diskette) soll geprüft werden.

Ist das Produkt etwa in Großpackungen mit je 100 Kleinpackungen zu je 10 Produkten verpackt, so könnten über einen längeren Zeitraum aus jeder Tagesproduktion zwei Großpackungen zufällig ausgewählt und diesen wiederum jeweils drei Kleinpackungen (ein Klumpen) zur Prüfung zufällig entnommen werden. Die im Laufe eines bestimmten Beobachtungszeitraumes (z.B. ein Monat) entnommenen ("gezogenen") Kleinpackungen bilden eine Klumpenstichprobe.

• Der Gebisszustand 13-Jähriger soll beurteilt werden.

Zur Beurteilung können an einigen zufällig ausgewählten Schulen die (13-jährigen) Schülerinnen und Schüler zufällig ausgewählter siebenter Klassen (jede Klasse ist ein Klumpen) zahnärztlich untersucht werden. Die untersuchten Schülerinnen und Schüler der einbezogenen Schulen bilden eine Klumpenstichprobe.

Eine geschichtete Stichprobe weist in voller Absicht dieselbe Zusammensetzung (Grundstruktur) wie die Grundgesamtheit auf. Man spricht daher auch von einem verkleinerten Abbild oder einer Mikrokopie der Grundgesamtheit.

Beispiele für (proportional) geschichtete Stichproben:

• Ein Wahlausgang soll (z.B. durch ein Meinungsforschungsinstitut) prognostiziert werden.

Meinungsforschungsinstitute verfügen im Allgemeinen aus jahrelanger Erfahrung über detaillierte Informationen zur Zusammensetzung der Grundgesamtheit. Wahlprognosen entstehen auf der Basis umfassender Kenntnisse über das Wahlverhalten der verschiedenen (wahlberechtigten) Bevölkerungsgruppen. Differenzierungen der Grundgesamtheit wie regionale Unterschiede, Unterschiede nach Geschlecht, Alter, Beruf o.Ä. werden adäquat in der Stichprobe berücksichtigt: Es wird z.B. darauf geachtet, dass die verschiedenen Bevölkerungsgruppen prozentual wie in der Grundgesamtheit vertreten sind. Zufällig bleibt, wen man aus jeder Bevölkerungsgruppe für die Stichprobe auswählt.

• Schülerinnen und Schüler an Gymnasien sollen nach ihrer durchschnittlichen wöchentlichen Arbeitszeit am Computer befragt werden.

Ist die Grundgesamtheit (Gesamtschülerzahl mehrerer Gymnasien) nicht allzu groß, könnten im Interesse einer sicheren Repräsentativität der Befragung alle Schülerinnen und Schüler einbezogen werden.
Eine geeignet geschichtete Stichprobe müsste – prozentual der Grundgesamtheit entsprechend – anteilig zufällig ausgewählte Mädchen und Jungen aus den Klassen einer bestimmten Anzahl Gymnasien (ggf. aus Großstädten, Städten mittlerer Größe und Kleinstädten sowie aus ländlichen Gegenden) umfassen.

Insbesondere das letzte der angeführten Beispiele zeigt, wie wichtig eine geeignete Zusammensetzung der Stichprobe für deren Repräsentativität ist. Würde sich etwa die (zufällige) Auswahl der Befragten auf die Jungen zweier achter Klassen eines Gymnasiums beschränken, wäre günstigenfalls eine (vage) Aussage über Jungen dieser Altersgruppe (und nur für dieses Gymnasium) sinnvoll.
In jedem Falle soll eineZufallsstichrobe erzeugt werden. Diese Forderung ist durch die Urnenmodelle Ziehen mit Zurücklegen bzw. Ziehen ohne Zurücklegen beschreibbar. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ist jedoch die obige Forderung nach Unabhängigkeit verletzt. Praktisch lässt sich hier Unabhängigkeit aber immer dann gewährleisten, wenn die Anzahl der gezogenen Elemente im Vergleich zur Anzahl der Elemente der Grundgesamtheit (Gesamtzahl der Kugeln jeder Art in der Urne) hinreichend klein bleibt. Bei einer verhältnismäßig großen Anzahl der Elemente der Grundgesamtheit ändert ein Ziehen ohne Zurücklegen von vergleichsweise wenigen Elementen die Zusammensetzung
der Grundgesamtheit praktisch nicht, sodass die Art des Ziehens für die Unabhängigkeit nicht relevant ist.