Determinanten

Die Determinante (Bestimmende) ist eine Funktion, die jeder quadratischen Matrix (n Zeilen und n Spalten) eine reelle Zahl zuordnet (interaktives Rechenbeispiel). Sie kann also als eine Funktion von Variablen aufgefasst werden und besteht aus Summanden, die Produkte aus den einzelnen Matrixelementen sind.
Das Schema soll im Folgenden an einfachen Beispielen für gezeigt werden.

Zweireihige Determinanten
Gegeben sei die Matrix Dann erhält man als Wert der Determinante:

Die Elemente liegen auf der Hauptdiagonalen, die Elemente auf der Nebendiagonalen.

• Beispiel: Es sei

Dann ist:

Dreireihige Determinanten
Für sei die Matrix gegeben.
Eine Möglichkeit, eine dreireihige Determinante zu berechnen, bietet die Regel von SARRUS:



Diese Regel lässt sich mithilfe des in Bild 1 bzw. im folgenden Bild dargestellten Schemas merken.



Die beiden ersten Spalten werden der Determinante hinzugefügt, und dann wird jeweils über die Diagonalen multipliziert. Die Produkte auf den von links oben nach rechts unten führenden Diagonalen erhalten ein positives Vorzeichen, die von links unten nach rechts oben ein negatives.

Während die Regel von SARRUS für nicht mehr angewendet werden kann, ist es möglich, die Berechnung einer Determinante der Ordnung n auf die Berechnung von Unterdeterminanten der Ordnung zurückzuführen. Dieses auf dem Entwicklungssatz von LAPLACE beruhende Prinzip soll im Folgenden für den Fall schrittweise erläutert werden:
Begonnen wird das Verfahren mit der Auswahl einer beliebigen Zeile oder Spalte der Matrix A (hier zur Demonstration: der ersten Zeile).
Zu jedem Element der ausgewählten Zeile oder Spalte (hier: ) gehört jeweils eine Unterdeterminante . Diese wird berechnet, indem aus A die i-te Zeile und die j-te Spalte entfernt werden und von der verbleibenden Matrix die Determinante berechnet wird.
Diese so erhaltenen Unterdeterminanten sind dann mit den Faktoren zu multiplizieren.
Zur Berechnung von sind diese entlang der ausgewählten Zeile bzw. Spalte gebildeten Produkte aufzusummieren.
Bei Entwicklung von A nach der ersten Zeile ergibt sich im Falle einer dreireihigen Matrix demzufolge:

• Beispiel: Gegeben sei die dreireihige Matrix

Der Wert der Determinante errechnet sich dann wie folgt:

Abschließend seien noch einige Regeln für das Rechnen mit Determinanten angegeben:

1. Der Wert der Determinante ist gleich null, wenn eine Zeile nur Nullen enthält, zwei Zeilen gleich sind oder als Linearkombination auseinander hervorgehen.
2. Ein gemeinsamer Faktor in allen Elementen einer Zeile kann vor die Determinante geschrieben (d.h. ausgeklammert) werden.
3. Das Vertauschen zweier Zeilen ändert das Vorzeichen der Determinante.
4. Werden Zeilen und Spalten einer Determinante vertauscht (transponiert), so ändert sich der Wert der Determinante nicht.