Mithilfe der l'hospitalschen
Regeln lassen sich Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken der
Form
berechnen. Die Regeln sind nach dem französischen Mathematiker GUILLAUME
FRANÇOISE ANTOINE DE L'HOSPITAL (1661 bis 1704, Bild 1) benannt.
Die im Folgenden betrachtete zweite Regel
stellt eine Erweiterung für Grenzwerte mit 
dar. Sie lässt sich folgendermaßen formulieren:
- Es seien
differenzierbare Funktionen mit 
sowie 
.
Dann gilt:
Zum Beweis der zweiten Regel kann
man den Grenzwert 
auf einen rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle 0 zurückführen,
indem man x durch 
ersetzt, d.h.:
Wendet man jetzt auf der rechten Seite die erste Regel von L'HOSPITAL
an, so erhält man:
Wir betrachten speziell zur zweiten Regel einige weitere Beispiele.
- Beispiel 1: Es ist der Grenzwert
von
für 
zu bestimmen.
Wir formen dazu folgendermaßen um:
Für
entsteht der unbestimmte Ausdruck 
.
Anwenden der zweiten Regel von L'HOSPITAL ergibt dann:
- Beispiel 2:
Es ist:
Eine Anwendung
der l'hospitalschen Regeln ist auch bei weiteren unbestimmten Ausdrücken
möglich. Ausdrücke der Form 
können im Allgemeinen in solche der Form
umgeformt werden. Andererseits kann man nachweisen, dass bei unbestimmten
Ausdrücken der Form 
für 
ebenso nach den l'hospitalschen Regeln verfahren werden kann. Oftmals
empfiehlt sich auch eine Umformung der folgenden Art:
- Beispiel 3:
Die Grenzwertbestimmung würde unmittelbar auf einen unbestimmten
Ausdruck der Form
führen; Beseitigung des Doppelbruchs liefert 
und damit einen unbestimmten Ausdruck der Form .
Die nun anwendbare erste Regel von L'HOSPITAL ergibt dann:
- Beispiel 4:
Der Grenzübergang lieferte den unbestimmten Ausdruck 
.
Erweitern mit 
ergibt
und damit den Fall .
Durch Kürzen mit x kann weiter umgeformt werden, und wir halten:
- Beispiel 5: Der Grenzwert von
für
ist zu bestimmen.
Sowohl Zähler- als auch Nennerfunktion gehen für
ebenfalls gegen unendlich. Anwendung der zweiten Regel ergibt:
- Beispiel 6:
Auch dieser Grenzwert führt auf .
In diesem Fall müssen Zähler- und Nennerfunktion k-mal abgeleitet
werden, und man erhält:
- Beispiel 7:
In diesem Fall dürfen die Regeln von L'HOSPITAL nicht angewandt
werden, da die Zählerfunktion einen endlichen von null verschiedenen
Grenzwert hat.
Die fälschliche Anwendung führte zu
,
die richtige Lösung ist jedoch 
.