Fehlerbetrachtungen

s = 20 m	= ± 0,5 m
t = 1,6 s	= ± 0,2 s

Damit erhält man als Geschwindigkeit:

Als Fehler ergibt sich bei einem Quotienten:

Mit v = 45 km/h ist dann:

Das Ergebnis lautet somit: Die Geschwindigkeit
beträgt

Sie hat also einen Fehler von 15 %. Bei den Ergebnissen ist eine sinnvolle Rundung vorzunehmen. Fehler werden immer aufgerundet.

Bild 4 zeigt die entsprechende grafische Darstellung der Messwerte in einem s-t-Diagramm.

Dem physikalischen Sachverhalt nicht angemessen wäre es, die Punkte miteinander zu verbinden. Da alle Messwerte fehlerbehaftet sind, zeichnet man eine Ausgleichskurve (Bild 4).
Die Frage ist nun vor allem, ob man genauer bestimmen kann, wie diese Ausgleichskurve verläuft. Wir nehmen dazu an, dass der Fehler der Zeitmessung gegenüber dem Fehler der Wegmessung vernachlässigt werden kann.

Eine erste Möglichkeit der genaueren Bestimmung des Verlaufs der Ausgleichskurve wäre, für jeden Messpunkt den Größtfehler des Weges in Form eines Fehlerbalkens zu markieren (Bild 5). Die Ausgleichskurve verläuft dann durch die Fehlerbalken hindurch. Im Beispiel haben wir für den Weg einen Fehler von  = ± 2,5 m angenommen.
Die Funktionskurve der Ausgleichskurve lässt sich auch berechnen. Nehmen wir an, dass für sie die Gleichung

gilt, dann kann man a bzw. b folgendermaßen berechnen:

Die Berechnung ergibt:

Die Gleichung für die Ausgleichsgerade lautet somit:

Liegt ein nichtlinearer Sachverhalt vor und besteht eine Vermutung über die Art der Abhängigkeit, so kann man einen nichtlinearen Zusammenhang durch geschickte Wahl der Achsengrößen auf einen linearen Zusammenhang zurückführen.

Fehlerbetrachtung vor und nach Messungen
Fehlerbetrachtungen haben sowohl vor der Durchführung von Messungen als auch in Auswertung von Messungen ihre Bedeutung.
Besteht das Ziel der Messungen darin, eine physikalische Größe möglichst genau zu messen, so muss man vor der Messung u. a. folgende Fragen beantworten:

• Welches Messverfahren wähle ich?
• Wodurch können Messfehler verursacht werden?
• Gibt es Möglichkeiten, Fehler zu korrigieren, zu kompensieren oder zu minimieren?
• Welche Größen müssen besonders genau gemessen werden, weil ihr Fehler den Fehler des Gesamtergebnisses besonders stark beeinflusst?
• Ist es sinnvoll, eine Probemessung oder eine Kontrollmessung durchzuführen?
• Reicht eine einmalige Messung oder ist es zweckmäßig, die Messungen so oft zu wiederholen, dass eine statistische Auswertung (Fehlerrechnung) gemacht werden kann?

Beachte:
Die Genauigkeit von Messungen kann zumeist nur vor oder während der Messung beeinflusst werden. Deshalb sollte man Fehlerbetrachtungen schon vor Beginn der Messungen durchführen.

Nach der Durchführung der Messungen kann man in der Regel nur noch abschätzen, wie genau man gemessen hat, also folgende Fragen beantworten:

• Welche zufälligen und systematischen Fehler sind tatsächlich aufgetreten?
• Wie groß sind die einzelnen Fehler und die Größtfehler bei den einzelnen gemessenen Größen?
• Wie beeinflussen diese Fehler das Messergebnis? Wie groß ist der Fehler der zu bestimmenden Größe?

Beispiel: Die Fallbeschleunigung
Als Beispiel betrachten wir ein Experiment zur Bestimmung der Fallbeschleunigung g. Diese Naturkonstante kann man z. B. mithilfe eines Fadenpendels unter Nutzung der Gleichung

bestimmen, indem man für ein Fadenpendel der Länge l die Schwingungsdauer T misst und die Fallbeschleunigung mit der Gleichung

berechnet. Bei einer solchen Bestimmung der Fallbeschleunigung hängt der Messfehler von der Genauigkeit der Längenmessung und der Genauigkeit der Zeitmessung ab, wobei der Fehler der Zeitmessung mit dem Faktor 2 eingeht. Beträgt der absolute Fehler der Längenmessung des Pendels und der absolute Fehler der Messung der Schwingungsdauer , so ergibt sich als Fehler für die Fallbeschleunigung g:

Bei l = 70,0 cm mit  = ± 1 cm und T = 1,64 s mit  = ± 0,2 s erhält man:

Eine andere Möglichkeit der Bestimmung der Fallbeschleunigung ist die über den freien Fall eines Körpers (Bild 1), die nachfolgend ausführlich dargestellt ist. Genutzt werden dabei die Gesetze des freien Falles.
Für den freien Fall gilt:

Damit kann der Wert für die Fallbeschleunigung experimentell bestimmt werden. Dazu wird die obige Gleichung nach der Fallbeschleunigung g umgestellt:

Weg und Zeit für den freien Fall eines Körpers müssen gemessen werden. Um einen möglichst genauen Wert für g zu erhalten, sollte die zu messende Fallzeit und damit der Fallweg nicht zu klein sein. Die Fallzeit wird mehrmals gemessen und anschließend ein Mittelwert berechnet. Die Auslösung des freien Falles erfolgt mit einem Magnetschalter, die Zeitmessung mit einer elektronischen Uhr (Bild 1).

Durchführung:
Der Fallweg beträgt s = 0,95 m.

Auswertung:
Aus der Messreihe für die Zeit kann folgender Mittelwert berechnet werden:

Für die Fallbeschleunigung errechnet man damit:

Der experimentell ermittelte Wert stimmt relativ gut mit dem Tabellenwert (9,81 ) überein.

Der Messwert ist brauchbar, wenn der in diesem Falle bekannte genaue Wert im Fehlerintervall liegt.

Wir stellen nachfolgend die Überlegungen zur Messgenauigkeit und zum Fehlerintervall dar. Die Überlegungen sind ebenfalls in der Schrittfolge Vorbereitung - Durchführung - Auswertung dargestellt.

Vorbereitung:
Die Fallbeschleunigung wird nach g = 2 bestimmt, also sind Fallweg und Fallzeit zu messen.
Die Messung des Fallweges erfolgt mit einem Lineal mit cm-Teilung.
Zu beachten ist auch, dass die Entfernung von der Unterkante des Körpers bis zum Kontakt gemessen wird. Dabei können Parallaxefehler auftreten. Insgesamt dominieren bei der Wegmessung die zufälligen Fehler. Eine Mehrfachmessung mit Mittelwertbildung wäre sinnvoll.
Die Fallzeit muss besonders genau gemessen werden, da ihr Fehler mit dem Faktor 2 eingeht. Die Genauigkeit der Zeitmessung ist bei der Experimentieranordnung nicht beeinflussbar und im Wesentlichen durch die Genauigkeitsklasse des Messgerätes bestimmt. Da aber beim Fall zufällige Einflüsse (z. B. Luftbewegung) auftreten können, ist eine Messreihe mit anschließender Mittelwertbildung zweckmäßig.

Durchführung:
Es ist besonders darauf zu achten, dass sich während aller Messungen der Zeit der eingestellte Fallweg nicht verändert. Treten offensichtliche "Ausreißer" auf, so kann man diese herausfallen lassen.

Auswertung:
Es können die Größtfehler bei der Messung von Fallweg und Fallzeit abgeschätzt und der Größtfehler der Fallbeschleunigung ermittelt werden.
Für den Fallweg ist der mögliche Ablesefehler entscheidend.
Bei einer cm-Teilung beträgt er:

Nimmt man beim Lineal einen Gerätefehler von ± 1 % an, dann bedeutet das bei einer Messstrecke von ca. 1 m einen Fehler von:

Der Größtfehler beträgt demzufolge:

Für die elektronische Zeitmessung ist die Genauigkeitsklasse des Messgerätes entscheidend. Sie beträgt 1,0 bei einem Messbereich von 1 s, also beträgt der absolute Fehler 0,01 s. Nimmt man bei dem auf Hundertstel genau anzeigenden Zeitmesser noch einen zufälligen Fehler von 0,01 s an, dann ist:

Aus g = 2 erhält man nach den Regeln der Fehlerfortpflanzung für den absoluten Fehler der Erdbeschleunigung:

Mit den in der obigen Tabelle genannten Werten ergibt sich:

Der relative Fehler beträgt 11 %, der absolute Fehler ± 1,1 .

Als Ergebnis könnte man angeben:

Anmerkung:
Bei den angegebenen Werten dominiert mit ca. 9 % der Fehler der Zeitmessung. Selbst bei Annahme eines Messfehlers bei der Zeitmessung von 0,01 s würde der relative Fehler von g immer noch 4,5 % oder ± 0,44 betragen. Auch dann würde der Tabellenwert im Fehlerintervall liegen.