Die allgemeinen Bewegungsgesetze müssen so formuliert sein, dass zum einen der vektorielle Charakter von Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung berücksichtigt wird und darüber hinaus auch Anfangsweg und Anfangsgeschwindigkeit in die Betrachtungen einbezogen werden. Notwendig ist auch die Einbeziehung der Differenzial- und Integralrechnung.
Das Weg-Zeit-Gesetz
Beim Weg-Zeit-Gesetz ist
zu beachten, dass die Geschwindigkeit eine Funktion der Zeit sein kann
und dass eine Anfangsgeschwindigkeit und ein Anfangsweg zu berücksichtigen
sind, die auch verschiedene Richtungen haben können. Das allgemeine
Weg-Zeit-Gesetz lautet:
Haben Geschwindigkeit, Anfangsgeschwindigkeit und
Anfangsweg die gleiche Richtung, dann kann man auch die Beträge schreiben.
Liegen entgegengesetzte Richtungen vor, so wird das in der Betragsschreibweise
durch ein Minuszeichen zum Ausdruck gebracht.
Beispiel: Geschwindigkeit
und Anfangsweg haben die gleiche Richtung, die Anfangsgeschwindigkeit
ist entgegengesetzt gerichtet. Dann lautet das Weg-Zeit-Gesetz:
Spezialfälle lassen
sich leicht ableiten, z.B. das Weg-Zeit-Gesetz für eine gleichmäßig
beschleunigte Bewegung (a = konstant) ohne
Anfangsweg und Anfangsgeschwindigkeit:
Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz
Das allgemeine Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz
lässt sich in differenzieller Schreibweise oder in Integralschreibweise
formulieren. Es lautet in den beiden Schreibweisen:
Der Punkt über dem s wird "s Punkt" gesprochen und bedeutet in der Physik immer die 1. Ableitung der betreffenden Größe nach der Zeit. Welche Form zu bevorzugen ist, hängt von den gegebenen Bedingungen ab, wie die nachfolgenden Beispiele zeigen.
Beispiel 1:
Gegeben ist folgendes Weg-Zeit-Gesetz:
Wie lautet das betreffende Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz?
Dieses Gesetz ergibt sich als 1. Ableitung des Weg-Zeit-Gesetzes nach
der Zeit:
Beispiel 2:
Eine Bewegung erfolgt mit einer konstanten Beschleunigung a.
Zum Zeitpunkt
Kennt man Beschleunigung und Anfangsbedingungen, dann kann man das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz
durch Integration ermitteln:
Das Beschleunigung-Zeit-Gesetz
Beim Beschleunigung-Zeit-Gesetz
gibt es eine allgemeine differenzielle Schreibweise, die sich auf die
Geschwindigkeit oder den Weg bezieht:
Die Beschleunigung ist also die 1. Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit oder die 2. Ableitung des Weges nach der Zeit. Kennt man für eine Bewegung das Weg-Zeit-Gesetz oder das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz, so kann man die Beschleunigung ermitteln, indem man die entsprechende Ableitung bildet.
Beispiel:
Für eine ungleichmäßig beschleunigte Bewegung lautet das
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz:
Die Beschleunigung ergibt sich als 1. Ableitung nach der Zeit:
