Teilchengrößen wie die Teilchenanzahl, die Geschwindigkeit der Teilchen oder ihre kinetische Energie sind eng mit solchen Größen wie Volumen, Druck und Temperatur verbunden. Die Zusammenhänge lassen sich aus kinetisch-statistischer Sicht herleiten und führen zur sogenannten Grundgleichung der kinetischen Gastheorie.
Herleitung der
Grundgleichung der kinetischen Gastheorie
Der Ansatzpunkt für die Herleitung ist der Zusammenhang zwischen
Teilchenbewegung und Gasdruck, wobei von den folgenden vereinfachenden
Annahmen ausgegangen wird:
- Betrachtet wird ein ideales Gas, bei dem nur elastische Wechselwirkungen zwischen den Teilchen bzw. zwischen Teilchen und Gefäßwänden auftreten.
- Die Teilchen haben eine durchschnittliche Geschwindigkeit v.
- Senkrecht zu jeder der sechs Flächen eines Würfels ( Bild 1) bewegen sich je 1/6 aller Teilchen. Das ist eine statistische Annahme, die an eine große Teilchenanzahl gebunden ist.
- Im Behälter mit dem Volumen V befinden sich insgesamt N Teilchen. Die Teilchenanzahldichte beträgt somit N/V. Sie kann statistisch als konstant im gesamten Raumgebiet angesehen werden.
In einem Quader der Seitenfläche A und der Länge
(Bild 1)
befindet sich dann eine Teilchenanzahl von:
Betrachten wir nur die Teilchen, die sich in Richtung Fläche A
bewegen, dann sind das 1/6 der gesamten Teilchenanzahl, also:
Jedes einzelne Teilchen hat die Masse m und
die Geschwindigkeit 
und damit den Impuls 
Nach einem geraden zentralen elastischen Stoß beträgt dieser
Impuls , 
hat
also den gleichen Betrag, aber die entgegengesetzte Richtung. Der Betrag
der Impulsänderung für ein Teilchen beträgt demzufolge
bei der elastischen Wechselwirkung mit der Wand
Betrachtet man alle Teilchen, die während
des Zeitintervalls 
auf die Wand treffen, dann beträgt die Impulsänderung für
alle diese Teilchen
Der rechts stehende Term ist die kinetische Energie eines Teilchens unter
der vereinfachenden Annahme, dass die mittlere Geschwindigkeit der Teilchen
v beträgt. Beachtet man, dass als Mittelwert
der Geschwindigkeit der Teilchen der quadratische Mittelwert der Geschwindigkeit
angesetzt werden muss, dann erhält man aus der zuletzt genannten
Gleichung:
Diese Gleichung wird als Grundgleichung der kinetischen
Gastheorie bezeichnet und häufig in folgender Form angegeben:
Weitere Formen
der Grundgleichung der kinetischen Gastheorie
Die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie lässt sich in unterschiedlicher
Weise angeben. Eine Form ist oben genannt und sei hier der Vollständigkeit
halber wiederholt:
Setzt man für den Term 
ein, so erhält man:
Geht man von der oben genannten Gleichung (1) aus
und beachtet, dass das Produkt aus Teilchenanzahl N
und Masse eines Teilchens m gleich der Gesamtmasse
des Gases ist, dann ist der Term
Weitere Formen erhält man, wenn man die unterschiedlichen
Varianten der Zustandsgleichung
des idealen Gases einbezieht, z.B.:
Zur Interpretation der Grundgleichung
der kinetischen Gastheorie
Eine Interpretation der verschiedenen Formen der Grundgleichung der kinetischen
Gastheorie ermöglicht es, wichtige Zusammenhänge zwischen physikalischen
Größen unter Einbeziehung kinetisch-statistischer Betrachtungen
zu formulieren und damit auch besser das Wesen verschiedener physikalischer
Größen zu erfassen. Das gilt insbesondere für den Druck,
aber auch für die Temperatur, wenn man den oben genannten Zusammenhang
zwischen mittlerer kinetischer Energie der Teilchen und der absoluten
Temperatur einbezieht.
Die Variante (4) ermöglicht es auch, in einfacher
Weise die durchschnittliche
Geschwindigkeit von Teilchen zu berechnen:
