Als Beispiel betrachten wir dazu
eine sehr schnell fliegende Rakete (Bild 2), die in den Punkten A und
B zwei synchronisierte Lichtuhren mitführt. Die Rakete betrachten
wir als Bezugssystem S'. Der Abstand zwischen A und B betrage l'.
Das ist zugleich die Länge eines gegebenen Körpers im System
S'. Die Rakete bewegt sich gegenüber einem System S, in dem sich
eine Lichtuhr C befindet, mit der Geschwindigkeit v
nach rechts.
Gemessen wird die Zeit des Vorbeifluges der Rakete an C von beiden Systemen
aus.
Für das Bezugssystem S' ergibt
sich:
Für das Bezugssystem S ergibt
sich aufgrund der Zeitdilatation:
Allgemein gilt:
In seinem Ruhessystem hat ein Körper
die größte Länge, die als Eigenlänge bezeichnet wird.
In einem dazu bewegten System ist die Länge geringer.
Herleitung
aus der Zeitdilatation
Der mathematische Zusammenhang ergibt sich aus der Gleichung für
die Zeitdilatation. Sie
lautet:
Stellt man die beiden oben genannten Gleichungen für die Längen
(Abstände) l und l'
nach den jeweiligen Zeiten um und setzt diese Zeiten in die Gleichung
für die Zeitdilatation ein, so erhält man:
Die Veränderung der Länge
mit dem LORENTZ-Faktor k ist grafisch in Bild
3 dargestellt. Bei kleiner Geschwindigkeit ist die Längenkontraktion
vernachlässigbar klein. Die Länge des Körpers ist gleich
seiner Eigenlänge. Bei der Lichtgeschwindigkeit c
wäre die Länge null.
In seinem Ruhesystem S' hat der Körper die Länge:
Im Bezugssystem S hat der gleiche Körper die Länge
Sie wird zu einem bestimmten Zeitpunkt durch die Bestimmung des Endpunktes und des Anfangspunktes des Körpers festgelegt. Es gilt also dann für die Zeiten in S:
Eine Anwendung der LORENTZ-Transformation ergibt:
