Die Komplementarität, also den Sachverhalt, dass sich die Beobachtung eines Interferenzmusters und eine Information über den Spalt, durch den ein Quantenobjekt hindurchgeht, ausschließen, kann man auch quantitativ beschreiben. Das kann mithilfe der Wahrscheinlichkeit P(x) unter Nutzung des Zeigermodells geschehen. Die Funktion P(x) für Quantenobjekte hat den gleichen Verlauf wie die Funktion I(x), also der Verlauf der Intensität, bei Licht (Bild 1).
Für die Zeigerdarstellung
ist allerdings zu beachten: Im Zeigermodell ist in der Optik das Quadrat
des Summenzeigers ein Maß für die Intensität I
für den betreffenden Ort x, bei Quantenobjekten
ist es ein Maß für die Wahrscheinlichkeit P
am Ort x. In Bild 2 ist als Beispiel dargestellt,
welche Ergebnisse man erhalten würde, wenn man untersucht, mit welcher
Wahrscheinlichkeit ein Elektron hinter einem Doppelspalt an bestimmten
Stellen zu detektieren ist.
Die Komplementarität quantitativ
Wenn bei einem Quantenexperiment ein Interferenzmuster
beobachtet wird, gibt es stets mehrere klassisch denkbare Möglichkeiten,
wie ein Versuchsergebnis eintreten kann. Geht man vom Durchgang durch
einen Doppelspalt aus, dann könnte das Quantenobjekt in klassischer
Vorstellung durch den einen oder den anderen Spalt zu einem Ort x
gelangen. Tatsächlich ist jedoch unbestimmt, durch welchen Spalt
es geht. Führt man eine Messung an den Spalten durch, so erhält
man nicht das Interferenzmuster, sondern die Summe der Einzelspaltverteilungen.
Um mithilfe der Zeiger die richtige Voraussage für die Wahrscheinlichkeit
P(x) zu bekommen, müssen wieder die Zeiger
zu den klassisch denkbaren Möglichkeiten gebildet werden. Beim Doppelspalt
ist das ein Zeiger für die Möglichkeit "linker Spalt"
und ein Zeiger für die Möglichkeit "rechter Spalt".
Für ihre Addition gilt die Regel:
Zeiger dürfen n nicht vektoriell addiert werden, wenn sie zu Möglichkeiten
gehören, die durch eine Messung unterscheidbar sind. Wenn die Möglichkeiten
dagegen nicht durch eine Messung unterscheidbar sind, müssen die
zugehörigen Zeiger vektoriell addiert werden.
Damit ergibt sich für Quantenobjekte
folgende Abwandlung des Zeigermodells: Man muss jeweils diejenigen Zeiger
vektoriell miteinander addieren, die zu Möglichkeiten gehören,
welche nicht durch Messungen unterscheidbar sind. Die Zeigersummen werden
quadriert. Die Summe der Quadrate ergibt die Wahrscheinlichkeit P(x).
Beim Doppelspaltexperiment
mit Ortsmessung an den Spalten erhält man bei diesem Herangehen für
alle x die Summe zweier Einheitsquadrate, also P(x)
= 2 (Bild 3). Das ist genau die richtige Verteilung bei kleiner
Spaltbreite.