Harmonische
mechanische Schwingungen werden nicht nur von Federschwingern und Fadenpendel
durchgeführt. Lässt man eine Flüssigkeitssäule in einem
U-förmigen Rohr hin- und herschwingen (Bild 1), so führt diese
Flüssigkeitssäule ebenfalls harmonische Schwingungen aus.
Gleiches gilt auch für einen gleichmäßig geformten Körper,
der in einer Flüssigkeit schwimmt. Wir betrachten nachfolgend beide
Beispiel genauer und leiten Gleichungen für die Schwingungsdauer ab.
Schwingungen
einer Flüssigkeitssäule
In einem U-Rohr befindet sich eine Flüssigkeit. Ist dieses Rohr waagerecht
angeordnet, so steht die Flüssigkeitssäule in beiden Rohren
gleich hoch, denn es handelt sich um verbundene Gefäße. Wird
die Flüssigkeitssäule ausgelenkt (Bild 1) und dann sich selbst
überlassen, so schwingt die Flüssigkeitssäule in dem U-Rohr
hin und her. Man spricht dann von Schwingungen
einer Flüssigkeitssäule.
Diese Schwingungen sind harmonisch. Eine harmonische Schwingung liegt
dann vor, wenn die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung
ist.
Für die rücktreibende Kraft gilt:
Für die Schwingungsdauer
einer harmonischen Schwingung gilt:
Die Richtgröße D ergibt sich aus
den Betrachtungen zur rücktreibenden Kraft zu:
Die letzte Gleichung kann man auch in anderer Form schreiben:
Das bedeutet: Die Schwingungsdauer
einer Flüssigkeitssäule in einem U-Rohr ist nur von der Länge
der Flüssigkeitssäule abhängig. Sie ist unabhängig
davon, um was für eine Flüssigkeit es sich handelt, welchen
Durchmesser das U-Rohr hat und wie stark die Flüssigkeit ausgelenkt
wird. Aus der Gleichung kann man auch ableiten: Die Schwingungsdauer einer
Flüssigkeitssäule mit der Länge l
ist genauso groß wie die eines Fadenpendels der halben Länge.
Eine Gleichung für die Frequenz
ergibt sich aus f = 1/T.
Praktisch genutzt werden die Schwingungen solcher Wassersäulen in
Schlingertanks. Das sind
Anordnungen auf Schiffen, die der Hin- und Herbewegung entgegenwirken.
Schwingungen
eines Körpers, der in einer Flüssigkeit schwimmt
Ein zylinderförmiger Körper schwimmt in einer Flüssigkeit
(Bild 2). Wird er ein Stück eingetaucht und dann sich selbst überlassen,
so führt er Schwingungen in vertikaler Richtung aus.
Auch in diesem Falle kann man zunächst nachweisen, dass diese Schwingungen
harmonisch sind. Eine harmonische Schwingung liegt dann vor, wenn die
rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung ist. Die rücktreibende
Kraft ist hier gleich der durch das Eintauchen zusätzlich auftretenden
Auftriebskraft.
Für die Auftriebskraft
gilt allgemein:
Damit erhält man für die rücktreibende Kraft beim zusätzlichen Eintauchen des Körpers um die Strecke s:
Um eine Gleichung für die Schwingungsdauer herzuleiten, kann man wiederum von der allgemeinen Gleichung für die Schwingungsdauer einer harmonischen Schwingung ausgehen, die lautet:
Die Masse m des schwingenden Körpers ist:
Die Richtgröße D ergibt sich aus den Betrachtungen zur rücktreibenden Kraft zu:
Damit erhält man für die Schwingungsdauer eines schwimmenden Körpers durch Einsetzen von (1) und (2):
Das bedeutet: Die Schwingungsdauer
hängt von den Dichten von Flüssigkeit und Körper sowie
von der Höhe des Körpers ab. Sie ist unabhängig von der
Fläche des Körpers und von der Eintauchtiefe. Eine Gleichung
für die Frequenz ergibt sich aus
f = 1/T.