Bei einer geradlinigen Bewegung hängt die Änderung des Bewegungszustandes eines Körpers von der wirkenden Kraft und von der Masse des Körpers ab. Die analogen Größen bei der Rotation sind das Drehmoment und das Trägheitsmoment.
Das Trägheitsmoment gibt an, wie träge ein drehbar gelagerter Körper gegenüber der Änderung seines Bewegungszustandes ist.
Formelzeichen: J
Einheit: ein Kilogramm mal Quadratmeter 
Berechnung von Trägheitsmomenten
Das Trägheitsmoment eines beliebigen Körpers ist von seiner
Masse und der Masseverteilung
bezüglich der Drehachse abhängig (Bild 1). Wir betrachten nachfolgend
nur die Trägheitsmomente von Körpern, bei denen die Drehachse
durch den Schwerpunkt (Massemittelpunkt)
verläuft. Allgemein gilt für das Trägheitsmoment eines
beliebigen Körpers:
Trägheitsmoment eines Massepunktes
Einem um eine Achse umlaufenden Massepunkt kann ebenfalls ein Trägheitsmoment
zugeordnet werden (Bild 3). Wendet man Gleichung (1) darauf an, so ergibt
sich:
Für einen dünnen Kreisring kommt man zum gleichen Ergebnis.
Trägheitsmoment eines dünnen
Hohlzylinders um die Längsachse
Ein Hohlzylinder der Gesamtmasse m rotiere
um seine Längsachse. Ist die Zylinderwand im Vergleich zum Radius
r sehr dünn, so trägt jedes kleine
Masseelement
zum gesamten Trägheitsmoment J bei. Dieses
ergibt sich dann durch Summation:
Trägheitsmoment eines Vollzylinders
um die Längsachse
Im Falle eines Vollzylinders ist keine einfache Summation möglich,
sondern das Trägheitsmoment erhält man durch Integration. Die
Herangehensweise ist dabei in allen Fällen ähnlich:
Ausgangspunkt ist die allgemeine Gleichung:
Nun überlegt man sich, wie man am günstigsten das Masseelement
dm ausdrücken kann. Ein solches Masseelement
wäre z.B. die Masse eines dünnen Kreisringes (in der Skizze
rot gezeichnet) mit
Seine Masse ergibt sich als Produkt aus der Dichte des Stoffes und dem
Volumen. Also würde man für das Masseelement erhalten:
Setzt man das in die Gleichung für das Trägheitsmoment ein,
so erhält man:
Hauptträgheitsachsen und Hauptträgheitsmomente
Bei den durch den Schwerpunkt eines Körpers verlaufenden Drehachsen
bezeichnet man die in den drei Raumrichtungen x, y und z verlaufenden
Achsen als Hauptträgheitsachsen,
die betreffenden Trägheitsmomente als Hauptträgheitsmomente
(Bild 6). Dabei hat stets eines dieser drei Trägheitsmomente den
größten und eines den kleinsten Wert (Ausnahme: die Kugel).
Das spielt nicht nur für die Masseanordnung bei Wellen oder Schwungrädern
eine Rolle, sondern muss auch bei Kreiseln
und ihren Anwendungen beachtet werden.
In Bild 7 ist ein Überblick über die Trägheitsmomente
unterschiedlicher Körper gegeben. Genannt sind häufig auftretende
Fälle. Dabei ist immer zu beachten, dass sich ein bestimmtes Trägheitsmoment
immer nur auf eine bestimmte Drehachse bezieht und dass sich mit dem Wechsel
der Drehachse auch das Trägheitsmoment ändert.
Der Satz von STEINER
Alle bisherigen Betrachtungen bezogen sich auf Drehachsen, die durch den
Schwerpunkt des betreffenden Körpers verlaufen. Es sind natürlich
auch andere Drehachsen möglich. Bild 8 zeigt dafür ein Beispiel:
Dort verläuft eine Drehachse durch den Punkt A. In diesem Fall kann
das Trägheitsmoment nach dem Satz
von STEINER berechnet werden. Dieses nach dem schweizer Mathematiker
JAKOB STEINER (1796-1863) benannte Gesetz lautet:
Experimentelle Bestimmung von Trägheitsmomenten
Für die experimentelle
Bestimmung von Trägheitsmomenten gibt es unterschiedliche Möglichkeiten.
Nachfolgend sind zwei dieser Möglichkeiten dargestellt.
Nutzung von Drehschwingungen: Man kann dabei einen Körper an einem Torsionsdraht aufhängen oder auf einem drehbaren, mit einer Spiralfeder verbundenen Tisch lagern (Bild 9a). Für die Schwingungsdauer eines solchen Drehpendels gilt:
Zu bestimmen sind also die Schwingungsdauer T
und das Direktionsmoment
D. Das Direktionsmoment kann über den
Zusammenhang
ermittelt werden.
Ermittlung mithilfe einer gleichmäßig
beschleunigten Drehbewegung:
Es wird eine Experimentieranordnung
entsprechend Bild 9b genutzt. Dann kann man das Trägheitsmoment berechnen
mit der Gleichung:
Diese Gleichung kann in verschiedener Weise hergeleitet werden. Nachfolgend
sind zwei verschiedene Möglichkeiten angegeben.
a) Aus dem Energieerhaltungssatz folgt:
b) Aus dem Grundgesetz der Dynamik für die Rotation
